共变导数（Covariant Derivative）

导数是指某一点的导数表示了某点上指定函数的变化率。

比如，要确定某物体的速度在某时刻的加速度，就取时间轴上下一时刻的一个微小增量，然后考察速度的增量和时间增量的比值。如果这个比值比较大，说明单位时间内速度的改变量大，反之就小。注意的是，只有当时间轴上的微小增量的极限趋于零时，这个比值才是考察的时刻的加速度（即速度的导数）。

可以看出，导数的定义与极限的概念是分不开的。而极限的表述最早是由法国人费马给出的。

共变导数则是在流体上定义导数的方法。

在基于欧几里得空间的笛卡尔坐标系里，对向量场求导数的方法与上文类似，即取两个空间坐标相近的点，然后考察其向量差与位置改变的比值。如果位置改变量是无穷小量，那么可以得到该点的导数。

但是，在流形的球面上，位置改变量的计算则根本不切实际，因为当移动一个向量的时候，随着路径的不同，结果根本就不一样。一个向量沿着球面转动一圈，因为曲率不为零，可能根本就不是原来那个向量了。换句话说，在曲面上的每个点上没有统一的坐标系，所以要把坐标系的变化考虑在内。或者说是共变导数是不依赖坐标系的求导方法。


联络(Connection)

联络描述了空间中某一点，对应于另外一点的空间转换。此表述隐含了一些假设。

首先曲面上每一点定义一个相互独立的空间，称为切空间(Tangent Space)。切空间是由该点的所有切向量(Tangent Vector)组成的空间, 这些切向量都是垂直于该点法线方向的向量。其次，定义在不同切空间中的切向量是不能相互运算，比如相加和相减的。因为曲率不加以考虑的话，这些运算都没有意义。

但是，这些不同点的切空间之间是有联系的，这些联系就叫联络。联络可以把无穷接近的两个切空间中的向量，转换到同一个切空间中。联络实际上是反映了切空间的弯曲程度。

有很多种实现联络的方法。但前提是，这些不同切空间中相应的向量的分量是需要可以相互对应的。

如何使用联络定义共变导数? 使用倒三角加上两个位于同一点的向量（比如v，u）来表示。可以写作Dvu，读作向量u沿着向量v的共变导数。定义参考向量v的意义在于，移动后的u向量要额外考虑它原本参考系中的变化（联络，即跟空间的结构变化有关），这是它与普通导数的最大区别。