黑龙江大学程序设计竞赛（重现赛）B：Help Me（数学）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/877/B
来源：牛客网

有一天Miss Quan出了一个题，给出一个长度为的数组

Miss Quan说给我计算下这个权值等于多少，然后随手写了一个式子，把她的小伙伴们都给惊呆了，这是什么鬼…

比如$N=2,Value=(a_2-a_1{)}^2+(a_3-a_1{)}^2+(a_3-a_2{)}^2$
听到这里，小伙伴们说这不是很简单吗，于是写出了下面的代码:

Miss Quan会心一笑，大家意识到事情并不简单，这个解法时间复杂度太高了，你能想出更好的计算Value的方法吗？只需要输出Value的值即可。

输入描述

第一行输入一个整数代表共有$T$组数据$T(1\le T\le 50)$。
对于每组测试用例第一行输入一个整数$n(2\le n\le 50000)$第二行输入$n$个数$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n(1\le a_i\le 10^4)$

输出描述

对于每组数据，输出一行，一个整数$Value$代表的值.

示例1

输入

2
3
1 4 2
2
10 20

输出

14
100

示例2

输入

1
4
5 6 8 7

输出

20

Solve

通过对上述公式化简，可以得到：
$$Value=(n-1)\times \sum _{i=1}^n{a}_i^2-2\times (\sum _{i=1}^{n-1}(a_i\times \sum _{j=i+1}^n{a}_j))$$
然后用前缀和处理一下${\sum }_{j=i+1}^n{a}_j$的值，可以得到最终公式：
$$Value=(n-1)\times \sum _{i=1}^n{a}_i^2-2\times (\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i\times su{m}_n-su{m}_i)$$

Code

#include 
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x7f7f7f7f
const int maxn=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
ll a[maxn];
ll sum[maxn];
int main(int argc, char const *argv[])
{
     
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
     
        ms(sum,0);
        int n;
        cin>>n;
        ll value=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
     
            cin>>a[i];
            value+=(n-1)*a[i]*a[i];
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        for(int i=1;i<n;i++)
            value-=2*a[i]*(sum[n]-sum[i]);
        cout<<value<<endl;
    }
    return 0;
}