偶尔有空自学数学【1】单变量微积分，极限的正式定义

5.10学习时间21：00-22：00.
教材使用的是Ron Larson的Calculus第10版。下图出自p52.公式读作 “the limit of f(x) as x approaches c is L.”

初看此定义相当的迷惑。先说对于每个epsilon，都存在一个如此的delta，然后又是如果delta怎么样，epsilon就会怎么样。好像完全倒着来了一边。
我的理解是：

函数极限定义的理解
1.对于所有的 ε>0，
2.存在 δ>0
3.如果 0<|x-x0|<δ
4.则 0<|f(x)-A|<ε

有两层含义：
1是说明与函数值与极限可以无限接近
2是把无限接近这一过程限定在x0附近，因为在给定去心领域中，所有|f(x)-A|都小于ε，为什么是所有的f(x)，而不是存在f(x),意义在于排除这样一个情况：整个函数中，函数值可以在非x0的其他局部接近极限值A，也就是限定接近极限的过程在x0为中心的去心邻域中！

——————————————————————————
思路一：
首先存在一个数L，使得函数因变量与L以及任意大于0的实数ε满足这样的关系，|f(x)-L| < ε。这个不等式的意思是，因变量可以无限地接近极限L。
在此条件下，不管因变量有多么接近L，都可以找到一个大于0的实数δ，使得f(x)在以c点为中心，δ为半径的去心邻域里有无穷多个定义点，也就是说x可以无限地接近c。
通俗地说，极限地正式定义就是指因变量可以从两边无限接近函数极限的时候，自变量也可以从两边无限地接近极限点。
思路二：
还是首先存在一个数L，使得函数因变量与L以及任意大于0的实数ε满足这样的关系，|f(x)-L| < ε。这个不等式的意思是，因变量可以无限地接近极限L。
确定个f(x)的范围即 |f(x)-L| < ε后，总能找到一个δ，使得函数定义域在以c点为中心，δ为半径的去心邻域中时，因变量取值都在L±ε里。
这样一来，就要求其左极限和右极限存在并相等。