积分法推导正整数平方和公式

积分法推导正整数平方和公式

正整数平方和公式：
$$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

思路

我们并不知道如何求 ${\sum }_{i=1}^n{i}^2$
但是我们知道如何求 ${\sum }_{i=1}^{n}i$
受求导法求等差数列乘等比数列前n项和的启发产生了个有意思的思路
可以试图借助 $\int 2xdx=x^2+C$ 来搭建桥梁，求解。

推导过程（2020.1.4）

设$f(n)=2n$，则
$$\int f(n)dn=n^2+C$$
我们现在要求
$$\sum _{i=1}^n\int f(i)dn$$
那么可以得出
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{i}^2& =\sum _{i=1}^n(\int f(i)dn-C)+nC\\ & =(\int \sum _{i=1}^{n}f(i)dn)-nC+nC\\ & =(\int 2\sum _{i=1}^{n}idn)-nC+nC\\ & =(\int 2\cdot \frac{(1+n)n}{2}dn)-nC+nC\\ & =(\int (n^2+n)dn)-nC+nC\\ & =\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+nC\end{array}$$
通分得：
$$\begin{array}{rl}原式& =\frac{2n^3+3n^2+6nC}{6}\\ & =\frac{n(2n^2+3n+6C)}{6}\end{array}$$
我们将$n=1$代入，得：
$$\frac{2+3+6C}{6}=\sum _{i=1}^1{i}^2=1^2=1$$
即 $5+6C=6$ ，解得$C=\frac{1}{6}$
所以：
$$\begin{array}{rl}原式& =\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}\end{array}$$
因式分解得：
$$\begin{array}{rl}原式& =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$
即
$$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
得解。

推导过程（2020.1.6）

我们首先来证明一个结论，由本人独立发现（要是有专业的结论的话也请大佬告诉我结论的名字）

设有一函数 $f(x)$ ， $f(x)=F(x)+C$ ，其中 $F(x)$ 不含常数项，即 $\int F^{\prime }(x)dx=F(x)$ 。
$$\sum _{i=1}^n[\int F^{\prime }(x)dx{|}_{x=i}+C]=\int \sum _{i=1}^n{F}^{\prime }(i)dn+nC$$
由于积分是求导的逆运算，我们可以证明对应的求导结论：
$$\sum _{i=1}^n\frac{d}{dx}f(x){|}_{x=i}=\frac{d}{dn}\sum _{i=1}^{n}f(i)$$
证明过程如下：
$$我们可以设:S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(x)$$
$$则待证等式等价于:\sum _{i=1}^n\frac{d}{dx}f(x){|}_{x=i}=\frac{d}{dn}S(n)$$
由函数$S(n)$得定义可得：
$$f(i)=\{\begin{array}{ll}S(i)& i=1\\ S(i)-S(i-1)& i>1\end{array}$$
所以我们根据导数定义将左边展开可以得到：
$$\begin{array}{rl}原式=& \sum _{i=1}^n\left[\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(i+\Delta x)-f(i)}{\Delta x}\right]\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}+\\ & \sum _{i=2}^n\left\{\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[S(i+\Delta x)-S(i-1+\Delta x)]-[S(i)-S(i-1)]}{\Delta x}\right\}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}+\sum _{i=2}^n\left\{\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[S(i+\Delta x)-S(i)]-[S(i-1+\Delta x)-S(i-1)]}{\Delta x}\right\}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left\{\right[S(1+\Delta x)+f(1)\left]\right\}+\left\{\right[S(2+\Delta x)+f(2)]-[S(1+\Delta x)+f(1)\left]\right\}+\cdots +\left\{\right[S(n+\Delta x)+f(n)]-[S(n-1+\Delta x)+f(n-1)\left]\right\}}{\Delta x}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{S(n+\Delta x)-S(n)}{\Delta x}\\ =& \frac{d}{dn}S(n)\end{array}$$
由此，我们证明了结论。

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设 $F(x)=x^2$ ， $F^{\prime }(x)=2x$ 。
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{i}^2& =\sum _{i=1}^n(\int F^{\prime }(x)dx{|}_{x=i}+C)\\ & =\int \sum _{i=1}^n{F}^{\prime }(i)dn+nC\\ & =\int 2\sum _{i=1}^{n}idn+nC\\ & =\int 2\cdot \frac{(1+n)n}{2}dn+nC\\ & =\int (n^2+n)dn+nC\\ & =\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+nC\\ & =\frac{2n^3+3n^2+6nC}{6}\\ & =\frac{n(2n^2+3n+6C)}{6}\end{array}$$
将 $n=1$ 代入
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(2n^2+3n+6C)}{6} \\ 1=\frac{n(2+3+6C)}{6} \end{gathered}$$
解得 $C=\frac{1}{6}$ ， 可检验 $n$ 取其他值时亦有 $C=\frac{1}{6}$ 。
故：
$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(2n^2+3n+6C)}{6}=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}$$
因式分解得：
$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
得解。

2020.1.4 16:53
一些表达和数学符号的运用可能不准确，过程也许也不够严谨，但是受求导法求等差数列乘等比数列的前n项和的方法的启发，产生了这么个思路，在这里分享一下。
(敷衍地码完字滚回去继续复习明天的政治会考)
欢迎大佬指正问题，找时间完善内容。

2020.1.6 23:40
花了两天的时间来完善思路，闲暇时间里就在思考，终于得到一个比较严谨的证明过程。
之后有什么想法继续补充