相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影，弱透视投影以及透视的一些性质

相机中的透视投影几何——讨论相机中的正交投影，弱透视投影以及透视的一些性质

2019/10/22 FesianXu

前言

相机中的成像其本质是从3D实体世界中的物体投影到2D成像平面上，在这个过程中存在着许多投影相关的内容，本文讨论了一些透视投影的内容，作为笔者在学习过程中的笔记。如有谬误，请联系指正。转载请注明出处。

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相机的针孔模型

我们曾经在[1]中讨论过关于相机的针孔模型的话题，这里我们要再次提起下这个模型。针孔模型(pinhole model) 是最简单的可以成像的“设备”，然而其可以精确地得到 透视投影(Perspective Projection) 的几何信息，这里所说的透视投影，定义为：

将三维物体的信息映射到二维平面上，称之为透视投影。( Such a mapping from three dimensions onto two dimensions is called perspective projection. )

Fig 1.1 相机的针孔模型及其透视投影成像。

在针孔模型中，光线通过一个无限小的孔，并且在成像平面上呈现出倒像。呈现出倒像不方便我们的分析，因此我们在分析时通常假设成像平面在焦点之前，距离同样也是焦距（未归一化之前，归一化之后距离就是1了，称之为归一化坐标系）。

透视投影的方程

我们需要用代数方式描述透视投影中的比例关系，如图Fig 2.1所示，根据相似三角形的知识，我们有：
$$\begin{gathered} 从O{A}^{\prime }{B}^{\prime }和OAB的关系，有： \\ \begin{array}{rl}\frac{O{B}^{\prime }}{OB}& =\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}\\ & \Rightarrow \\ \frac{f}{z}& =\frac{r^{\prime }}{r}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.1)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 从ABC到A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }的关系，有： \\ \begin{array}{rl}\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}& =\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}\\ & \Rightarrow \\ \frac{x}{x^{\prime }}& =\frac{y}{y^{\prime }}=\frac{r}{r^{\prime }}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.2)} \end{gathered}$$

其中的$O{B}^{\prime }=f$是焦距。

联合公式(2.1)和(2.2)，我们有透视投影公式:
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\frac{xf}{z}\\ y^{\prime }& =\frac{yf}{z}\\ z^{\prime }& =f\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

Fig 2.1 透视投影示意图。

用矩阵形式表达就是：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}f& 0& 0& 0\\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& f& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

透视投影的若干性质

1. 多对一映射，在透视投影中，已知了投影点$A^{\prime }$之后，其实体点$A$并不是唯一的，而是存在于过焦点连线$O{A}^{\prime }$上的任意一点都有可能(不过要在$A^{\prime }$之后呢，所以应该是在$O{A}^{\prime }$的延长射线上。)
2. 放缩和投影缩放。
   • 当一个平面或者一条直线平行于成像平面时，透视投影的影响其实就是对这个平面/直线进行了缩放(scaling)。
   • 当一个平面或者直线不平行于成像平面时，透视投影的会产生非线性的投影扭曲(projective distortion)，可以将其分解成平行于成像平面的分量的缩放。

Fig 2.2 尺度缩放和投影缩放。

焦距的若干影响

如图Fig 2.3 所示，不同焦距有着不同的影响，注意到$AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$，我们发现，焦距越小，其视角越大，属于广角摄像头(wide-angle camera)；焦距越大，其视角越小，但是分辨率会提高，属于望远镜摄像头(more telescopic)。

Fig 2.3 不同焦距的影响。

在透视投影中，在投影过程中，实际的平行关系通常不能保留下来，实际上，透视投影保留不了角度，距离等大部分的几何关系，但是保留了直线的“直”的这个属性。[2]

正交透视投影和弱透视投影

注意到透视投影一般来说是非线性的，其不保留原始元素的大部分几何属性，比如平行，角度等，为了分析方便，我们假设当焦距无限大时，我们在成像平面上会存在一个所谓的正交投影，这个正交投影可以保留平行关系。其每个投影线都是平行的。这个称之为正交投影(orthographic projection)。

Fig 3.1 正交投影。

公式描述如:
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =x\\ y^{\prime }& =y\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$
矩阵形式:
$$\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

正交投影的尺度大小是和原始物体的大小一致的，当考虑的正交头像的尺度缩放时，就有了弱透视投影(weak perspective projection)。

Fig 3.2 弱透视投影。

公式如:
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\frac{xf}{z}\approx \frac{xf}{\bar{z}}\\ y^{\prime }& =\frac{yf}{z}\approx \frac{yf}{\bar{z}}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$
矩阵形式:
$$\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}f& 0& 0& 0\\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \bar{z}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

Reference

[1]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/102632940

[2]. Hartley R, Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision[J]. Kybernetes, 2008, 30(9/10):1865 - 1872.