蒙特卡洛算法

来源：

蒙特·卡罗方法-转 - CSDN博客
https://blog.csdn.net/u011088260/article/details/52197783

概述：

蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。

来源：

科学网—蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介 - 王晓勇的博文

http://blog.sciencenet.cn/blog-324394-292355.html

1.蒙特卡洛算法的步骤

（1）构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 

　　  （2） 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。 （该句，不理解----无偏估计）

　　 （3）建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品个数为： 显然，正品率p为： 不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是无偏估计。 用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w Î W ,使得这个随机变量的期望值 正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。 

2.例子：

它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。

二、π的计算

第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。

正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。

现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。

如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。

三、积分的计算

上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。

比如，计算函数 y = x² 在 [0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。

这个函数在 (1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件 y < x²）。这个比重就是所要求的积分值。

用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。

四、交通堵塞

蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。下面的例子模拟单车道的交通堵塞。

根据 Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。

• 当前速度是 v 。
• 如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
• 如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
• 此外，司机还会以概率 p 随机减速， 将下一秒的速度降低到 v - 1 。

在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率 p 为 0.3 。

上图中，横轴代表距离（从左到右），纵轴代表时间（从上到下），因此每一行就表示下一秒的道路情况。

可以看到，该模型会随机产生交通拥堵（图形上黑色聚集的部分）。这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。

五、产品厚度

某产品由八个零件堆叠组成。也就是说，这八个零件的厚度总和，等于该产品的厚度。

已知该产品的厚度，必须控制在27mm以内，但是每个零件有一定的概率，厚度会超出误差。请问有多大的概率，产品的厚度会超出27mm？

取100000个随机样本，每个样本有8个值，对应8个零件各自的厚度。计算发现，产品的合格率为99.9979%，即百万分之21的概率，厚度会超出27mm。

六、证券市场

证券市场有时交易活跃，有时交易冷清。下面是你对市场的预测。

• 如果交易冷清，你会以平均价11元，卖出5万股。
• 如果交易活跃，你会以平均价8元，卖出10万股。
• 如果交易温和，你会以平均价10元，卖出7.5万股。

已知你的成本在每股5.5元到7.5元之间，平均是6.5元。请问接下来的交易，你的净利润会是多少？

取1000个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本（5.5元到7.5元之间的均匀分布），另一个是当前市场状态（冷清、活跃、温和，各有三分之一可能）。

模拟计算得到，平均净利润为92, 427美元

自己的总结：

总体来说蒙特卡洛算法就是随机的产生足够多的点，然后根据产生的点落入所求的区域，以及已知的区域的个数，构建概率。

概率  =  求解区/已知区

然后得到求解的区域。