贝叶斯公式推导及意义

条件概率公式

设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：

                 P(A|B)=P(AB)/P(B)

乘法公式

1.由条件概率公式得：

                   P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

上式即为乘法公式；

2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2…An-1) > 0 时，有：

             P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

全概率公式

1. 如果事件组B1，B2，…. 满足

   1).B1，B2….两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，….，且P(Bi)>0,i=1,2,….;

   2).B1∪B2∪….=Ω ，则称事件组 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分

   设 B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：

上式即为全概率公式（formula of total probability)

2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,…)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,…Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,…ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+…+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得

     P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

           =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

            解：设.....     P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

贝叶斯公式

1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有

上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,…)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2…)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

2.实例：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。

     解：设....， P(B1|A）= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923

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