[数学][微积分]学习笔记。(未完结)

置于文首：特别鸣谢 3b1b、bilibili。
本文将按照3b1b视频集数分块记录。

一、微积分的本质。

题外话 ：“数学之道在于找出一个这样的特例，它包含普遍原则的全部萌芽。”——大卫·希尔伯特

思考：圆的面积公式:S=πr^2是如何得到的。
想象将一个圆剪成若干个宽为dr(一个小的值)的同心圆环。取其中一个圆环来看，将此圆环拉直，展开成梯形。为了简单起见，将其近似成长方形，该长方形的宽是原来环的周长2πr(圆环半径)，宽为dr，所以该圆环面积S=2πr×dr。这个值并不准确，只是一个近似值。但随着dr取值的不短减小，数值也会越来越准确，因为圆环展开后的上下两边会越来越趋近于同一长度。将所有展开的圆环从大到小紧密排列（宽都是dr所以可以紧密排列）后，随着dr取值的不断减小，紧密排列后得到的新图形也越来越趋近于一个直角三角形，这个三角形的面积S=(r*2πr)÷2= πr^2，即为圆的面积公式。(看原视频直观呈现，文字讲述不易)

思考：为什么这种做法可以从近似得到准确呢？
关键点：随着dr取值的不断减小，圆环面积愈加接近于矩形，整个排列组成的图形愈加接近于三角形。
如果把上述圆环展开后置于平面直角坐标系中，使得每一个圆环从小到大从原点开始依次排列，其左上定点所在直线为y=2πx。显而易见的是，随着dr取值的不断减小，所有的矩形面积总和恰好是图像底下的面积，完全准确，不用近似。

“事实上，许多实际问题可以近似成大量很小的东西加起来，而这样的问题都能转化成求某图像下的面积。”

思考：怎样求其他图像下的面积?
例如y=x²这一函数，我们将需求的图像下图形的左端点固定在0，使右端点运动，设为x。设函数A(x)表示该面积(A(x)即x²的积分）。使x增加dx(同样设dx为一小值)后，dA(增加的面积) 可以很好的近似成矩形的面积——宽是dx，高是x²，随着dx取值的减小，这一近似也越加准确，所以dA=dx*x²，变形得dA/dx=x²。推广一下，易得所有图像下的面积定义的任何函数都具有这一性质，即dA/dx=f(x)，且dx越趋于0，近似越准确。在数学上，我们把dA/dx这一比值(严谨地说，是dx越小时比值趋向的值)，叫做A的导数。我们就可以得知，某个图像下方面积函数的导数，能够还原出定义这个图像的函数，这就是微积分基本定理。它将积分与导数相联系，并指明某种意义上，两者互为逆运算。

至此，我们大致了解什么是微积分与导数，后文将继续学习相关。
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