根据递推公式构造系数矩阵用于快速幂

简单的例子

Fibonacci数列

考虑 Fibonacci 数列，

F(n)=F(n−1)+F(n−2)

将右边两项看做是一个列向量的形式，令

Xn−1={Fn−1Fn−2}

很容易得到 Xn 的形式，即

Xn={FnFn−1}

现在的任务就是找到一个系数矩阵 A ，使得 AXn−1=Xn ，且 A 需与 n 无关。
如果能够找到这个 A ，则易知 An−1X1=Xn ，于是可以利用矩阵快速幂计算出 Xn 。这样就可以在 O(logn) 的时间内计算出指定的 Fibonacci 数。
这个矩阵很容易找，观察易得

A={1110}(1)

Fibonacci数列变种

推广一下，如果令 Fn=aFn−1+bFn−2 ，则系数矩阵为

A={a1b0}(2)

利用二项式展开构造矩阵

计算k次方和

Fibonacci 数列只是最简单的例子，对于稍微复杂一点的例子，二项式展开是常用的一项技术。
考虑计算：

Sn=∑i=1nik

易得

Sn=nk+Sn−1

如果仿照 Fibonacci 数列，令

Xn−1={nkSn−1}

则

Xn={(n+1)kSn}

此时，可求出

A=⎧⎩⎨⎪⎪(n+1n)k101⎫⎭⎬⎪⎪

这个系数矩阵很明显是不能用的，因为它与 n 有关，无法将递推公式转化为矩阵的幂运算。
这里需要使用二项式展开。

Sn=(n−1+1)k+Sn−1=C0k(n−1)k+C1k(n−1)k−1+⋯+Ckk+Sn−1

此时，如果令

Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

则有

Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

现在的任务与刚才一样，找到一个系数矩阵 A ，使得 AXn−1=Xn ，且 A 需与 n 无关。
有关 Sn 的递推公式实际上就指明了 A 的最后一行。而利用二项式展开很容易得到其他行。
有

A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kC1kC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(3)

最后有

An−1X1=Xn

且

X1={1 1 ⋯ 1}T

利用该系数矩阵可以在 O(k3logn) 时间内计算出 k 次方的和。

更一般的例子

再考虑一个一般情况：

Sn=∑i=1n(ai+b)k

与刚才几乎一模一样，有

Sn=[a(n−1)+(a+b)]k+Sn−1=C0kak(n−1)k+C1kak−1(a+b)(n−1)k−1+⋯+Ckk(a+b)k+Sn−1

剩下的步骤，也几乎完全与之前的一样，令

Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

则

Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

同样，有关 Sn 的递推公式实际上就指明了 A 的最后一行，其他行则利用二项式展开得到。
有

A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kakC1kC0k−1⋮⋯C1kak−1(a+b)⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk(a+b)k00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(4)

更复杂的例子

假设要计算如下和式：

Sn=∑i=1nikki

同样，将其写成递推公式，有

Sn=nkkn+Sn−1=(n−1+1)kk(n−1)+1+Sn−1=C0k(n−1)kk(n−1)+1+C1k(n−1)k−1k(n−1)+1+⋯+Ckkk(n−1)+1+Sn−1

将与 n 有关的项抽出来作为列向量，令

Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)kk(n−1)+1(n−1)k−1k(n−1)+1⋮(n−1)0k(n−1)+1Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

则

Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪nkkn+1nk−1kn+1⋮n0kn+1Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

同样，有关 Sn 的递推公式说明了系数矩阵 A 的最后一行。而其他行仍然可以由二项式展开得到，只是相差了一个系数 k 而已，这很容易解决。
最后，有

A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪kC0k0⋮0C0kkC1kkC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯kCkkkCk−1k−1⋮kC00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(5)

部分题目

POJ3070利用了矩阵1，hdu3369利用了矩阵3和4，hdu3483利用了矩阵5。