【DayDayUp】【算法_图_最短路_之二_SPFA最劣、Dij堆优化&Johnson（结点对最短路）】（待续）

【坚持不能偷懒】

——好吧，已经偷懒很久了……

——M边数、N点数

关于SPFA的一些想法：

SPFA实际上是一种看脸迭代法

在SPFA过程中，一旦出现某个在真实最短路上出现过的点

因为它的权值已经达到了最优，所以在以后的过程中，不会再次出现

——关于Dij的heap优化——

DIJ的heap优化，每次均以最优来迭代，但消耗了寻找最优的时间(logN)

Dij的操作有两个 1、删除最优权值 2、给结点降权

常规的堆优化 操作1和2的复杂度均为logN

而1需要N次，2需要M次 所以复杂度为 (N+M)logN

假设每次对一条边权的查询，都会对一个点更新，则需要M次，所以MlogN

斐波那契堆 在对结点降权的操作中，其摊还复杂度为 O(1)

那么使用斐波那契堆的Dij，能优化到 NlogN + M * 1 的复杂度

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而SPFA则看脸，以消除这个寻找最优的过程

每次遍历一遍队列的时间是M

但如果每次（次为遍历一遍队列的过程）寻找出的最优点均在队尾

且每次都会把剩余所有点标记flag

则达到最劣情况 N*M

举个例子：

把点记为 1 2 3 ... N

搜索 1 to N 的路径时

实际最优路是 1 - N-1 - N-2 - N-3 ... N

且 最优路径边权 均为 0

除最优边权外，其余边权为

1 —— 2^(N+K)

N - 1 —— 2^(N+K-1)

N - 2 —— 2^(N+K-2)

……

如此，每次搜索，队列中所有点flag均会置为1

但会搜索 N 次

——————一些优化的设想——————

1，SPFA不能保证搜索到目的点时，就已经最优

所以需要迭代至不能迭代为止

但当前获得的最短路，可以作为剪枝依据，若一个点的更新值劣于当前最短路

则忽略其影响

2，如果考虑针对如上情况，或许可以如同快速排序的选点，采取随机化策略

Ps:注意到SPFA中，产生的浪费操作为，当 A to B 更新后，A to B to C 也会更新

如此产生的影响，我也不知道怎么消除……

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结点对之间的最短路

Johnson算法达到 O(NNlgN + MN)

来获取任意两点间最短路

如果图中无负权，则可以直接对每个点采用DijHeap来搜索

N * MlgN (斐波那契堆则为 NNlgN)

但如果图中出现的负权

仍然可以做出一定调整后采取相同策略

如果给每个点赋任意固定权重 h(i)

对于u,v两点，最短路权记为w(u,v)

记 W(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v)

那么 以W找出的最短路 和 原图最短路，一致

待续

——部分内容参考自《算法导论第3版》，推荐阅读原书