一阶逻辑等值演算

主要内容
1.	等值式与基本的等值式 ①在有限个体域中消去量词等值式 ②量词否定等值式 ③量词辖域收缩与扩张等值式 ④量词分配等值式
2.	基本规则 ①置换规则 ②换名规则 ③代替规则
3.	前束范式
4.	推理理论 ①推理的形式结构 ②推理正确 ③构造证明 ④新的推理规则      全称量词消去规则，记为UI      全称量词引入规则，记为UG      存在量词消去规则，记为EI      存在量词引入规则，记为EG
学习要求
1.	深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。
2.	熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。
3.	准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。
4.	正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。
5.	对于给定的推理，正确地构造出它的证明。

一阶逻辑等值式与置换规则

定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若AB是永真式，则称A与B是等值的。记做AB，称AB是等值式。

谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。下面主要讨论关于量词的等值式。

基本等值式

第一组 代换实例

 由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。例如：
        xF(x)┐┐xF(x)
        xy(F(x,y)→G(x,y))┐┐xy(F(x,y)→G(x,y))
等都是(2.1)式的代换实例。又如：

        F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)
        x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))
等都是(2.1)式的代换实例。

第二组 消去量词等值式

设个体域为有限域D={a₁,a₂,…,a_n}，则有
    (1)xA(x)A(a₁)∧A(a₂)∧…∧A(a_n)
    (2)xA(x)A(a₁)∨A(a₂)∨…∨A(a_n) .........................(5.1) 

第三组 量词否定等值式

设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则
    (1)┐xA(x)x┐A(x)
    (2)┐xA(x)x┐A(x)  .........................(5.2) 
(5.2)式的直观解释是容易的。对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。

第四组 量词辖域缩收与扩张等值式

设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则
    (1)x(A(x)∨B)xA(x)∨B
       x(A(x)∧B)xA(x)∧B
       x(A(x)→B)xA(x)→B
       x(B→A(x))B→xA(x).........................(5.3) 
    (2)x(A(x)∨B)xA(x)∨B
       x(A(x)∧B)xA(x)∧B
       x(A(x)→B)xA(x)→B
       x(B→A(x))B→xA(x).........................(5.4) 
    注意：这些等值式的条件。

第五组 量词分配等值式

   设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
    (1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)
    (2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) .........................(5.5) 

基本规则

1．置换规则

    设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若AB，则Φ(A)Φ(B).

    一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。

2．换名规则

    设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'，则A'A.

3．代替规则     设A为一公式，将A中某个自由出现的个体变项的所有出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替，A中其余部分不变，设所得公式为A'，则A'A.

等值演算

例5.1 将下面公式化成与之等值的公式，使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
    (1)xF(x,y,z)→yG(x,y,z)
    (2)x(F(x,y)→yG(x,y,z))

    解 (1)xF(x,y,z)→yG(x,y,z)
        tF(t,y,z)→yG(x,y,z)    (换名规则)
        tF(t,y,z)→wG(x,w,z)    (换名规则)
原公式中，x，y都是既约束出现又有自由出现的个体变项，只有z仅自由出现。而在最后得到的公式中，x，y，z，t，w中再无既是约束出现又有自由出现个体变项了。还可以如下演算，也可以达到要求。
         xF(x,y,z)→yG(x,y,z)
      xF(x,t,z)→yG(x,y,z)     (代替规则)
      xF(x,t,z)→yG(w,y,z)     (代替规则)

    (2)x(F(x,y)→yG(x,y,z))
    x(F(x,t)→yG(x,y,z))       (代替规则)
或者
        x(F(x,y)→yG(x,y,z))
     x(F(x,y)→tG(x,t,z))       (换名规则)

例5.2   证明
    (1)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)
    (2)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
其中A(x)，B(x)为含x自由出现的公式。

    证 (1)只要证明在某个解释下两边的式子不等值。
    取解释I：个体域为自然数集合N；取F(x)：x是奇数，代替A(x)；取G(x)：x是偶数，代替B(x). 则x(F(x)∨G(x))为真命题，而x F(x)∨x G(x)为假命题。两边不等值。
    对于(2)可以类似证明。 例5.2说明，全称量词""对"∨"无分配律。同样的，存在量词""对"∧"无分配律。但当B(x)换成没有x出现的B时，则有
        x(A(x)∨B)xA(x)∨B
        x(A(x)∧B)xA(x)∧B
这是式(5.3)和式(5.4)中出现的两个等值式。

例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去：
    (1)x(F(x)→G(x))
    (2)x(F(x)∨yG(y))
    (3)xyF(x,y)

    解 (1) x(F(x)→G(x))    (F(a)→G(a))∧(F(b)→G(b))∧(F(c)→G(c))

      (2) x(F(x)∨yG(y))
      xF(x,a)∨yG(y)                       (公式5.3)
      (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∨G(b)∨G(c))
如果不用公式(5.3)将量词的辖域缩小，演算过程较长。注意，此时yG(y)是与x无关的公式B.

    (3) xyF(x,y) x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c)) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))
在演算中先消去存在量词也可以，得到结果是等值的。

一阶逻辑的前束范式

一阶逻辑公式的标准形——前束范式

定义5.2 设A为一个一阶逻辑公式，若A具有如下形式
                           Q₁x₁Q₂x₂…Q_kx_kB
则称A为前束范式，其中Q_i(1≤i≤k)为或，B为不含量词的公式。

    例如，   xy(F(x)∧G(y)→H(x，y))
             xyz(F(x)∧G(y)∧H(z)→L(x，y，z))
等公式都是前束范式，而
             x(F(x)→y(G(y)∧H(x，y)))
             x(F(x)∧y(G(y)→H(x，y)))
等都不是前束范式。

可证明每个一阶逻辑公式都能找到与之等价的前束范式。

定理5.1 (前束范式存在定理)一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。

下面用一阶逻辑的等值演算求前束范式。

例5.6 求下面公式的前束范式：
    (1)xF(x)∧┐xG(x)
    (2)xF(x)∨┐xG(x)

    解 (1)xF(x)∧┐xG(x)
        xF(x)∧┐yG(y)   (换名规则)
        xF(x)∧y┐G(y)   ((5.2)第二式)
        x(F(x)∧y┐G(y)) ((5.3)第二式)
        xy(F(x)∧┐G(y)) ((5.3)第二式)     
或者
          xF(x)∧┐xG(x)
       xF(x)∧x┐G(x)    ((5.2)第二式)
       xy(F(x)∧┐G(x))  ((5.5)第一式)
由此可知，(1)中公式的前束范式是不唯一的。

    另外,yx(F(x)∧┐G(y))

也是(1)中公式的前束范式。

    (2)xF(x)∨┐xG(x)
    xF(x)∨x┐G(x)   ((5.2)第二式)
    xF(x)∨y┐G(y)   (换名规则)
    x(F(x)∨y┐G(y)) ((5.3)第一式)
    xy(F(x)∨┐G(x)) ((5.3)第一式)

    问：(2)的下述求法是否正确？
       xF(x)∨┐xG(x)
    xF(x)∨x┐G(x)
    x(F(x)∨┐G(y))

一阶逻辑推理理论

等值演算理论，本节进一步讨论推理理论。

推理定律

第一组 命题逻辑推理定律的代换实例。例如：
        xF(x)∧yG(y)xF(x)
        xF(x)xF(x)∨yG(y)∨…
分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例。

    第二组 由基本等值式生成的推理定律。上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生成两个推理定律。例如：
        xF(x)┐┐xF(x)
        ┐┐xF(x)xF(x)

 和
        ┐xF(x)x┐F(x)
        x┐F(x)┐xF(x)
分别由双重否定律和量词否定等值式生成。

    第三组 还有下面各重要推理定律。例如：
    (1)xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
    (2)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
    (3)x(A(x)→B(x))x A(x)→x B(x)
    (4)x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x)

推理规则

1．全称量词消去规则(简记为UI规则或UI)
            
两式成立的条件是：
    （1）在第一式中，取代x的y应为任意的不在A(x)中约束出现的个体变项。
    （2）在第二式中，c为任意个体变项。
    （3）用y或c去取代A(x)中自由出现的x时，一定要在x自由出现的一切地方进行取代。

---

     2．全称量词引入规则(简记为UG规则或UG)
          
该式成立的条件是：
    （1）无论A(y)中自由出现的个体变项y取何值，A(y)应该均为真。
    （2）取代自由出现的y的x也不能在A(y)中约束出现。

---

     3．存在量词引入规则(简称EG规则或EG)
          
该式成立的条件是：
    （1）c是特定的个体常项。
    （2）取代c的x不能在A(c)中出现过。

---

     4．存在量词消去规则(简记为EI规则或EI)
             
该式成立的条件是：
    （1）c是使A为真的特定的个体常项。
    （2）c不在A(x)中出现。
    （3）若A(x)中除自由出现的x外，还有其它自由出现的个体变项，此规则不能使用。

一阶逻辑自然推理系统F

定义5.3 自然推理系统F定义如下：
    1 字母表。同一阶语言的字母表(见定义4.1)。
    2 合式公式。同合式公式的定义(见定义4.1)。
    3 推理规则：
    （1） 前提引入规则。
    （2） 结论引入规则。
    （3） 置换规则。
    （4） 假言推理规则。
    （5） 附加规则。
    （6） 化简规则。
    （7） 拒取式规则。
    （8） 假言三段论规则。
    （9） 析取三段论规则。
    （10）构造性二难推理规则。
    （11）合取引入规则。
    （12）UI规则。
    （13）UG规则。
    （14）EI规则。
    （15）EG规则。

    F中的推理过程类似命题演算自然推理系统P。

例5.8 设个体域为实数集合，F(x,y)为x>y. 指出在推理系统F中，以xyF(x，y)(真命题)为前提，推出xF(x,c)(假命题)的下述推理证明中的错误。
    ① xyF(x,y) 前提引入
    ② yF(z,y)    ①UI规则
    ③ F(z,c)       ②EI规则
    ④ xF(x,c)    ③UG规则

    解 由于c为特定的个体常项，所以xF(x,c)(即为x(x>c))为假命题。如果按F中推理规则进行推理，不会从真命题推出假命题。在以上推理证明中，第三步错了，由于F(z,y)中除有自由出现的y，还有自由出现的z，按EI规则应该满足的条件(3)，此处不能用EI规则。用了EI规则，导致了从真命题推出假命题的错误。

 例5.9 在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：
    任何自然数都是整数；存在着自然数。所以存在着整数。个体域为实数集合R。

    解 先将原子命题符号化。
    设 F(x):x为自然数，G(x):x为整数。
    前提：x(F(x)→G(x)), xF(x)
    结论：xG(x)
    证明：

    ① xF(x)         前提引入
    ② F(c)            ①EI规则
    ③ x(F(x)→G(x)) 前提引入
    ④ F(c)→G(c)      ③UI规则
    ⑤ G(c)            ②④假言推理
    ⑥ xG(x)         ⑤EG规则
    以上证明的每一步都是严格按推理规则及应满足的条件进行的。因此，前提的合取为真时，结论必为真。但如果改变命题序列的顺序会产生由真前提推出假结论的错误。如果证明如下进行：
    ① x(F(x)→G(x)) 前提引入
    ② F(c)→G(c)      ①UI规则
    ③ xF(x)         前提引入
    ④ F(c)            ③E1规则
在②中取c=,则F()→G()为真（前件假）,于是④中F()为假，这样从前件真推出了假的中间结果。

习题

1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：
  (1) xy(F(x)∧G(y))
  (2) xy(F(x)∨G(y))
  (3) xF(x)→yG(y)
  (4) x(F(x,y)→yG(y))
2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I₁和I₂，使得下面公式在I₁下都是真命题，而在I₂下都是假命题。
  (1) x(F(x)→G(x))
  (2) x(F(x)∧G(x))
3．给定解释I如下：
  (a) 个体域D={3,4}。
  (b) (x)为(3)=4，(4)=3。
  (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。

试求下列公式在 I下的真值：
  (1) x yF(x,y)
  (2) x yF(x,y)
  (3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))
4．在自然推理系统 F中构造下面推理的证明：
  (1) 前提： x(F(x)→(G(a)∧R(x)))， xF(x)
      结论： x(F(x)∧R(x))
  (2) 前提： x(F(x)∨G(x))，┐ xG(x)
      结论： xF(x)
  (3) 前提： x(F(x)∨G(x))， x(┐G(x)∨┐R(x))， xR(x)
      结论： xF(x)
5．在自然推理系统 F中，证明下面推理：
  (1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。
  (2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。
  (3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。

 

答案

1.
(1) xy(F(x)∧G(y))
 xF(x)∧yG(y)
 (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))
(2) xy(F(x)∨G(y))
 xF(x)∨yG(y)
 (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))
(3) xF(x)→yG(y)
 (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c))
(4) x(F(x,y)→yG(y))
 xF(x,y)→yG(y)
 (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))

2.(1)
I₁: F(x):x≤2,G(x):x≤3
F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以
   x(F(x)→G(x))
(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。
I₂: F(x)同I₁,G(x):x≤0
则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假，
x(F(x)→G(x))为假。
(2)留给读者自己做。

3.

(1) xyF(x,y) (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4)) (0∨1)∧(1∨0)1
(2) xyF(x,y) (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4)) (0∧1)∨(1∧0)0
(3) xy(F(x,y)→F(f(x),f(y)))
 (F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))
 (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0)1

4.(1)

证明:	① xF(x)	前提引入
	② F(c)	①EI
	③ x(F(x)→(G(a)∧(R(x)))	前提引入
	④ F(c)→(G(a)∧R(c))	④UI
	⑤ G(a)∧R(c)	②④假言推理
	⑥ R(c)	⑤化简
	⑦ F(c)∧R(c)	②⑥合取
	⑧ x(F(x)∧R(x))	⑥EG

(2)

证明：	① ┐xG(x)	前提引入
	② x┐G(x)	①置换
	③ ┐G(c)	②UI
	④ x(F(x)∨G(x)	前提引入
	⑤ F(c)∨G(c)	④UI
	⑥ F(c)	③⑤析取三段论
	⑦ xF(x)	⑥EG

(3)

证明：	① x(F(x)∨G(x))	前提引入
	② F(y)∨G(y)	①UI
	③ x(┐G(x)∨┐R(x))	前提引入
	④ ┐G(y)∨┐R(y)	③UI
	⑤ xR(x)	前提引入
	⑥ R(y)	⑤UI
	⑦ ┐G(y)	④⑥析取三段论
	⑧ F(y)	②⑦析取三段论
	⑨ xF(x)	UG

5.(1)

设F(x):x为有理数，R(x):x为实数，G(x):x是整数。
前提：	x(F(x)→R(x))，x(F(x)∧G(x))
结论：	x(R(x)∧G(x))
证明：	① x(F(x)∧G(x))	前提引入
	② F(c)∧G(c)	①EI
	③ F(c)	②化简
	④ G(c)	②化简
	⑤ x(F(x)→R(x))	前提引入
	⑥ F(c)→R(c)	⑤UI
	⑦ R(c)	③⑥假言推理
	⑧ R(c)∧G(c)	④⑦合取
	⑨ x(R(x)∧G(x))	⑧EG

(2)

设：F(x):x为有理数，G(x):x为无理数，R(x)为实数，    H(x)为虚数
前提：	x((F(x)∨G(x))→R(x)),x(H(x)→┐R(x))
结论：	x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))
证明：	① x((F(x)∨G(x)→R(x))	前提引入
	② F(y)∨G(y))→R(y)	①UI
	③ x(H(x)→┐R(x))	前提引入
	④ H(y)→┐R(y)	③UI
	⑤ ┐R(y)→┐(F(y)∨G(y))	②置换
	⑥ H(y)→┐(F(y)∨G(y))	④⑤假言三段论
	⑦ H(y)→(┐F(y)∧┐G(y))	⑥置换
	⑧ x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))	⑦UG

(3)

设：F(x):x能表示成分数， G(x):x为无理数，        H(x)为有理数
前提：	x(G(x)→┐F(x)),x(H(x)→F(x))
结论：	x(H(x)→┐G(x))
证明：	① x(H(x)→F(x))	前提引入
	② H(y)→F(y)	①UI
	③ x(G(x)→┐F(x))	前提引入
	④ G(y)→┐F(y)	③UI
	⑤ F(y)→┐G(y)	④置换
	⑥ H(y)→┐G(y)	②⑤假言三段论
	⑦ x(H(x)→┐G(x))	⑥UG

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