这题做第二次还会错?做法竟毫无违和?

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最近GRE考试真题中,出现过这样一些让人一做就错的排列组合题目,让人摸不清头脑。


例如在GRE火箭机经冲刺班有这样一道题

(在课程中我们用英文版本,这里为方便阅读,翻译成了中文):

从2位男性的和5位女性的里要选出4个人去开小会,至少1男和1女会被选中,有多少种选法?





有的同学会认为,我先选出来1男1女,然后剩下的一坨人里直接薅出来2个人不就行了么??

也就是


乍一看简直太对了,但是这里面有严重的重复


比如说

我一开始选出来的人是男A和女B,然后从余下人中薅出男C和女D

我一开始选出来的人是男C和女D,然后从余下人中薅出男A和女B

本质上来说,这都是选出了ABCD四个人,是一种情况,但是在这里面却算成了两种

这其中的重复情况非常错综复杂,这样算是进行不下去的。



01

“至少”破解法——对立法

实际上,这道题的破解关键词在于“至少(at least)”。


一般来说,看到“至少”,我们可以试着想想它的对立情况会不会好算一些,

比如我连续扔5个硬币,至少有1次正面朝上有多少种情况?

那么它的对立情况是“1次正面都没有”,也就是“全是反面”,这就非常好算,只有1种情况。

于是“至少1次正面”就用,

就是31种情况。


对立法就好像是找一下补集

比如当教授让你把写了15段的论文只保留第5段时,大部分人不会从第一段开始删,而是选中第五段,反选一下再删除。


刚才这道题,用对立法也可以做,但大部分同学很难很快找到“至少1男1女”的对立到底是啥

是一个男的都没有?一个女的都没有?

一个男的都没有并且一个女的都没有?

还是一个男的都没有或者一个女的都没有?


当我们不能一眼看出对立情况是什么的时候,果断采取“至少破解法”的另一计:



02

“至少”破解法——暴力分类法

因为是4个人,所以“至少1男1女”就是1男3女or 2男2女,我们直接开始讨论

1男3女


2男2女


然后求和,一共20+10=30种分法



总结

在处理题目中有“至少(at least)”的问题时,切不可先把至少要求的部分先挑出来,会造成严重重复,此时应当用“至少破解法”——

1. 考虑其对立情况,用总体-对立=所求

2. 考虑把要求的情况做分类,依次计算后相加


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