[2019 CSP冲刺]数论基础知识点复习

之前开的[数论提高题选做]大概已经咕掉了（因为完全来不及了啊qwq）
考前两天赶紧复习一下我最辣鸡的数学。
这篇博客是给自己复习用的，如果你要学习的话，可以参考一下这位大佬的博客。

质数/约数相关

费马小定理&欧拉定理&ex欧拉定理

费马小定理：$p$为素数，$gcd(p,a)=1$，有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。
欧拉定理：$gcd(p,a)=1$，有$a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。
ex欧拉定理：
(懒得打公式了)

逆元

没什么好说的$a^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，根据费马小定理，得到$a^{-1}\equiv a^{p-2}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

快速幂求逆元

直接写快速幂就好了。

线性递推求逆元

这东西是构造出来的。
考虑$p=kx+t$，显然有$kx+t\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，移项$-k\times t^{-1}\equiv x^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。
$k$就是$\lfloor \frac{p}{x}\rfloor$，$t$就是$p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x$。
设$x$的逆元为$in{v}_x$。
因此$in{v}_x\equiv -\lfloor \frac{p}{x}\rfloor \times in{v}_{p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
因为负数，通常写作:
$in{v}_x\equiv (p-\lfloor \frac{p}{x}\rfloor )\times in{v}_{p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

积性函数

$f(x)$是积性函数，则有$f(ab)=f(a)\times f(b)$，$gcd(a,b)=1$。
众所周知，$\phi (x)$(欧拉函数)，$\sigma (x)$(因数和函数)，$D(x)$(因数个数函数)，$\mu (x)$(莫比乌斯函数)都是积性函数。

单个计算

一般思路是将$f(x)$变为$f(p_1^{k_1})\times f(p_2^{k_2})\times ...\times f(p_n^{k_n})$。
然后用相应的方法处理。
下面是一些例子：

1. 欧拉函数

$\phi (x)=\phi (p_1^{k_1})\times \phi (p_2^{k_2})\times ...\times \phi (p_n^{k_n})$。
定理:$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$，$p$为质数。
化简一下就是：$\phi (x)=n\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times ...\times (1-\frac{1}{p_n})$。

2.因数个数函数

应该是小学奥数内容:)
$D(x)=(k_1+1)\times (k_2+1)\times ...\times (k_n+1)$。

3.因数和函数

$\sigma (p^k)=1+p^1+p^2+...+p^k=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}$。
因此$\sigma (x)=\frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1}\times \frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1}\times ...\times \frac{p_n^{k_n+1}-1}{p_n-1}$。

4.其他函数

可以试试用dp计算
例题:CF757E Bash Plays with Functions。

多个预处理

其实跟单个差不多，只是在做线性筛的时候按公式递推一下。
处理$D(x)$示例：

void Prime_S(){
     
	memset(SPrime,1,sizeof(SPrime));
	SPrime[1]=0;
	D[1]=1;
	for(int i=2;i<=2000000;i++){
     
		if(SPrime[i])
		{
     Prime[++Pnum]=i;D[i]=2;}
		for(int j=1;i*Prime[j]<=2000000;j++)
		if(i%Prime[j]==0){
     
			int q=i,co=1;
			while(q%Prime[j]==0){
     
				q/=Prime[j];
				co++;
			}
			SPrime[i*Prime[j]]=0;
			D[i*Prime[j]]=D[q]*(co+1);
			break;
		}
		else{
     
			SPrime[i*Prime[j]]=0;
			D[i*Prime[j]]=D[i]*D[Prime[j]];
		}
	}
}

如果不是线性的话当然就更好写了…（不过上面那个好像也不是线性的）

exGCD

普通gcd是这样的:

LL gcd(LL a,LL b){
     
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

打CF的时候肯定__gcd最好了
现在我们要用这东西解方程$ax+by=\gcd (a,b)$。
对于$a=kb+t$,如果我们有了$bx+ty=\gcd (a,b)$的一组解$(x^{\prime },y^{\prime })$，那么$ax+by=\gcd (a,b)$的解就是$(y^{\prime },x^{\prime }-k{y}^{\prime })$。
其实我们只需要将$t$带入就得出来了。
$t=a-kb$，$b{x}^{\prime }+(a-kb)y^{\prime }=\gcd (a,b)$，$a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-k{y}^{\prime })=\gcd (a,b)$。
然后考虑一下边界情况$b=0$。
这时候$a\times x+0\times y=\gcd (a,b)=a$，显然有一组解$x=1,y=0$。
这里的$k,t$的含义其实就是$\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$。
这种做法还可以扩展到很多东西上面(比如二维欧几里得，多项式等等)，具体可以去看集训队论文。

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
     
    LL x0,y0,G;
    if(!b){
     x=1,y=0;return a;}
    G=exgcd(b,a%b,x0,y0);
    x=y0,y=x0-(a/b)*y0;
    return G;
}

当然一般情况下我们要求$ax+by=c$的$x$最小整数解。
首先根据裴蜀定理，设$g=\gcd (a,b)$，方程有解当且仅当$c\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g)$。
因此我们先求出$ax+by=g$的解，再将$x,y$乘上$\frac{c}{g}$。
我们这样就找到了一个特解$(x_0,y_0)$。
如果我们要要求最小整数解的话。
我们可以运用结论，得到
$$\{x=x_0+t\times \frac{b}{g},y=y_0-t\times \frac{a}{g},t\in \mathbb{Z}\}$$
因此最小正整数解为$(x_0+\frac{b}{g})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{b}{g}$(感性理解一下)。

中国剩余定理及其扩展

中国剩余定理

解方程
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)\end{array}$$
对于$m_1,m_2,m_3,...,m_n$两两互质的情况，我们可以尝试构造一个特解。
构造方法是:
$M={\prod }_{i=1}^n{m}_i$,$t_i$满足$t_i\times \frac{M}{m_i}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$。
那么特解是:$x_0={\sum }_{i=1}^n{a}_i\times t_i\times \frac{M}{m_i}$。
容易发现循环节为$M$（因为两两互质），因此通解为：
$$x=x_0+k\times M$$
求解$t_i$时我们需要exgcd。

ex中国剩余定理

在扩展定理中，$m_i$就不互质了。
我们考虑从前往后将方程一个一个合并。
因此我们设$M=lcm(m_1,m_2,...,m_{k-1})$。
对于方程组:（$a_0$是前面方程组的特解）
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M)\\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$$
转为不定形式:
$$\{\begin{array}{l}x=M\times p+a_0\\ x=m_k\times q+a_k\end{array}$$
然后$M\times p+a_0=m_k\times q+a_k$，$M\times p-m_k\times q=a_0-a_k$
这就是一个不定方程求解的问题了。
设 $g=\gcd (M,m_k)$，$a_0-a_k\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g)$时才有解。
然后我们就得到了$p_0$，然后转为最小非负整数解。
这样就有了新的解$x=M\times p+a_0$。

原根与阶

大概不会考，暂时咕掉。

其他

1.$ax+by(x\ge 0,y\ge 0)$最大不能表示的数为$a\ast b-a-b$。
具体证明可以用构造法：

[转载自:Luogu Mzwuzad大佬的题解]
2.$\{0,t,2t,3t,...,(n-1)t\}$在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$意义下是完系的充要条件是$gcd(t,n)=1$。

END

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