凸包算法Jarvis's march步进法和Graham扫描法的原理及实现

凸包概念

在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
        用自己的话说就是在一个点集中，能够包含所有点的凸多边形（所有的点都能落入多边形的内部）。专业的描述可以通过百度百科了解。在作者Kyle Loudon的《Mastering Algorithms with C》一书的中文版中描述到一个点集的凸包是指包含该点集中的所有点的最小凸多边形。如果一个多边形内任意两点之间的连线完全包含在该多边形内，则称这个多边形是凸多边形；否则多边形就是凹的。要想画一个点集的凸包，可把它假想成一块板子上的钉子。如果用细线将最外层的钉子逐个连接起来，那么细线所围成的形状就是凸包。如下图所示a为凸包，b为凹多边形。     

如图c所示所有的黑色点表示一个点集，P1~P8表示生成生成凸包的点集。
                                                   

                                          
         在这里介绍两种求有限点集的凸包，一种Jarvis's march的步进法，另一种是Grahamd的扫描法。本文档代码实现在Qt5.7.0环境下，仅供作为参考，不保证直接拿去使用没有问题。

通用函数

1）共线情况找出距离远的点

#define SEGMENTLEN(x0,y0,x1,y1) (sqrt(pow(((x1)-(x0)), 2.0) + pow(((y1)-(y0)), 2.0)))

2）判断点的位置（上边/下边）

qreal Convex::comparePointClock(const QPointF &point_0, const QPointF &point_c, const QPointF &point_i)
{
	return ((point_i.x() - point_0.x())*(point_c.y() - point_0.y()) - (point_i.y() - point_0.y())*(point_c.x() - point_0.x()));
}

3）删除重复坐标

quint32 Convex::removeRepeatPoints(QVector &vecPoints)
{
	if (vecPoints.isEmpty())
		return 0;

	QVector tempVecPorint;
	tempVecPorint = vecPoints;
	vecPoints.clear();
	QPointF tempPoint;
	while (tempVecPorint.size())
	{
		tempPoint = tempVecPorint.at(0);
		tempVecPorint.removeAll(tempPoint);
		vecPoints.push_back(tempPoint);
	}

	return vecPoints.size();
}

4）获取最小坐标

QPointF Convex::getMinimumPoint(const QVector &vecPoints)
{
	if (vecPoints.isEmpty())
		return QPointF();

	QPointF minPoint = vecPoints.at(0);
	quint16 point_x = vecPoints.at(0).x(), point_y = vecPoints.at(0).y();
	for (QVector::const_iterator it = vecPoints.constBegin(); it != vecPoints.constEnd(); it++)
	{
		//比较Y坐标，找Y坐标最小的
		if (it->y() < minPoint.y())
		{
			minPoint = (*it);
		}
		else
		{
			//Y坐标相同，找X坐标小的
			if (it->y() == minPoint.y() && it->x() < minPoint.x())
			{
				minPoint = (*it);
			}
		}
	}

	return minPoint;
}

Jarvis's march 步进算法，复杂度O(nH)，H为点的个数

步骤：

1）找到坐标最下的点，此点必定在凸包点集中，（如果出现纵坐标最小的点有多个，那么在这些点中找到横坐标最小的点，即点集中最左下角的点）起始点作为P_0，并把其入栈。

2）遍历点集利用向量叉积的方法判断点是在线的上边（左边）还是下边（右边），设第二个点为P_c，遍历的点为P_i。如果向量叉积结果>0说明P_i在P_0P_c连线的下边（右边），<0说明P_i在P_0P_c连线的上边(左边)，==0说明P_i在P_0P_c连线上。如果点在直线的下方则更新P_c为P_i；如果在线上的话，找到距离P_0较远的点作为P_c，然后把P_c作为P_0入栈，依次类推直到遍历一周再次到达第一个入栈的点。

具体实现源码如下：

//Jarvis's march 算法，O(nH)，H为点的个数。
qint8 Convex::getConvexHullJarvis(const QVector &vecSourPoints, QVector &vecTarPoints)
{
	if (vecSourPoints.isEmpty())
		return -1;

	QPointF minPoint;
	QPointF lowPoint, point_0, point_i, point_c;
	qreal count = 0,z = 0;
	qreal length_1, length_2;
	QVector tempVecPoint(vecSourPoints);

	vecTarPoints.clear();
	//删除重复坐标
	if (removeRepeatPoints(tempVecPoint) <= 0)
		return -1;

	//查找最小坐标
	minPoint = getMinimumPoint(tempVecPoint);
	lowPoint = minPoint;
	
	point_0 = lowPoint;

	do {
		//起始点point_0压入凸包点集中
		vecTarPoints.push_back(point_0);
		
		count = 0;
		for (QVector::iterator it = tempVecPoint.begin(); it != tempVecPoint.end(); it++)
		{
			//跳过起始坐标
			if ((*it) == point_0)
				continue;

			count++;
			if (count == 1) //把第一个遍历的点作为point_c
			{
				point_c = (*it);
				continue;
			}
			//如果z>0则point在point_i和point_c连线的下方，z<0则point_i在连线的上方，z=0则point_i共线
			z = comparePointClock(point_0,point_c,(*it));//((it->x() - point_0.x())*(point_c.y() - point_0.y()) - (it->y() - point_0.y())*(point_c.x() - point_0.x()));
			if (z > 0)
			{
				point_c = (*it);
			}
			else if (z == 0)
			{
				//共线情况找出距离point_0较远的那个点作为point_c
				length_1 = SEGMENTLEN(point_0.x(),point_0.y(),it->x(),it->y());
				length_2 = SEGMENTLEN(point_0.x(), point_0.y(), point_c.x(), point_c.y());
				if (length_1 > length_2)
				{
					point_c = (*it);
				}
			}
		}
		point_0 = point_c;

	} while (point_0 != lowPoint);
	vecTarPoints.push_back(lowPoint);
	if (vecTarPoints.isEmpty())
		return -1;
	return 0;
}

Graham 扫描算法，复杂度O(nlgn)

步骤：

1）与Jarvis's march算法一样找到坐标最下的点作为P_0。

2）对一批无序的点集中的点按照极角从小到大进行排序，如果极角相同则按由近及远进行排序（以P_0为起始点）。

按极角从小到大进行排序：

QPointF m_point0;
bool comPolarAngle(const QPointF &point_1, const QPointF &point_2)
{
	qreal z = ((point_2.x() - m_point0.x())*(point_1.y() - m_point0.y()) - (point_2.y() - m_point0.y())*(point_1.x() - m_point0.x()));
	if (fabs(z) < 1e-6)
	{
		qreal length_1 = SEGMENTLEN(m_point0.x(), m_point0.y(), point_1.x(), point_1.y());
		qreal length_2 = SEGMENTLEN(m_point0.x(), m_point0.y(), point_2.x(), point_2.y());

		return length_1 > length_2;
	}
	else
	{
		return z < 0;
	}
}

bool Convex::sortByPolarAngle(QVector &vecPoints)
{
	if (vecPoints.isEmpty())
		return false;

	QVector tempVecPoint(vecPoints);
	tempVecPoint.removeOne(m_point0);

	qreal z = 0;
	qSort(tempVecPoint.begin(), tempVecPoint.end(), comPolarAngle);
	tempVecPoint.push_front(m_point0);

	vecPoints = tempVecPoint;

	return true;
}

3）让排序后的点集中的前三个点依次入栈，然后开始遍历其后点，如果其后点与栈顶两个点不构成向左旋转的关系，则弹出栈顶元素，直到没有点需要出栈，那么就将当前点入栈，依次循环直到算有点都遍历结束。

具体实现源码：

//Graham 扫描算法，O(nlgn)。
qint8 Convex::getConvecHullGraham(const QVector &vecSourPoints, QVector &vecTarPoints)
{
	if (vecSourPoints.isEmpty())
		return -1;
	
	QVector tempVecPoint(vecSourPoints);

	//删除重复坐标
	if (removeRepeatPoints(tempVecPoint) <= 0)
		return -1;

	//查找最小坐标
	QPointF minPoint;
	minPoint = getMinimumPoint(tempVecPoint);
	m_point0 = minPoint;

	//按极角进行排序
	if(!sortByPolarAngle(tempVecPoint))
		return -1;

	vecTarPoints.clear();
	vecTarPoints.push_back(tempVecPoint.at(0));
	vecTarPoints.push_back(tempVecPoint.at(1));
	vecTarPoints.push_back(tempVecPoint.at(2));
	qint32 vecTop = 2;
	for (int i = 3; i < tempVecPoint.size(); i++)
	{
		while (vecTop > 0
			&& (comparePointClock(vecTarPoints.at(vecTop - 1), vecTarPoints.at(vecTop), tempVecPoint.at(i)) >= 0))
		{
			vecTop--;
			vecTarPoints.pop_back();
		}
		vecTarPoints.push_back(tempVecPoint.at(i));
		vecTop++;
	}
	vecTarPoints.push_back(minPoint);

	if (vecTarPoints.isEmpty())
		return -1;
	return 0;
}

注：源码.h和.cpp文件请在本人GitHub中浏览，望与参考的人一起学习进步！

地址：https://github.com/CMwshuai/ConvexHull.git