高精快速幂——洛谷P1045麦森数~2020.7.14学习笔记

输入输出样例
输入：

1279

输出：

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

很明显，拿到这道题，要结局的由两部分。第一部分是求2的n次幂-1的位数。易得，2的n次幂-1的位数与2的n次幂的位数相同（因为2的n次结尾一定不会带0），因此，计算位数只需计算2的n次所得的数字的位数即可。
计算方法如下：
易知，10的n次幂的数字的位数为n，只需做一些小小的改动，将2的n次幂放在10的指数位置上即可，2 ^ n 也作 10 ^ log 10 ( 2 ^ n ) ，可化简为：10 ^ （log 10 ( 2 ) * n），因此，所求位数即为 ：log 10 ( 2 ) * n（c++的cmath头文件自带计算log10()的函数）。

解决了位数问题，下面来解决高精度计算的问题。

显而易见，本题想要不爆TLE，需要使用快速幂（2的n次幂，显而易见）。
快速幂的原理又是什么呢？您可以自行前往CSDN搜索，CSDN中不乏优秀的博主，比以下笔者的见解强上千倍万倍，笔者的思路，亦是从其他博文学习而来的。
举个例子，计算 3^10 ，可以拆分为：3333333333，简单地使用循环，需要计算10次，看似很快，但当n的值无穷大时，循环的暴力做法便失效了。因此，我们另辟蹊径，拿出一个33，结果为9，那么这个计算便简化为 3 ^ 8 * 9 ，然而，指数只是减小了2，仍不能避免多次的计算，因此，换个思路，我们应想法设法地减小指数，而不是将多次操作不断分割。若换成（3*3）^ 5，即9 ^ 5，这样计算的时间直接减半，而此时，由于指数变为奇数，不能再进行 /2 的指数分割，便提出一个9，使指数变为4次，再进行分割运算。因此，到最后，仅需计算9×6561(9 ^ 4的结果)，即可得到最终答案。下面是快速幂的代码实现：

typedef int ElemType;
ElemType fastPower(ElemType base,ElemType power){
     
 //base代表底数，power代表指数
 ElemType result = 1;
 while( power > 0 ){
     
  if( power & 1 ) /*power按位与1，若结果为奇数，返回1(true)，为偶数，
  返回0(false)根本目的是判断此时指数的奇偶性*/ 
  {
     
   result = result * base; /*所求目标过大时，题目中可能会让答题人
   对结果求余，求余操作应该加在每一步 */ 
   } 
  power>>=1;/*power右移一位，即除二操作，此时不奇偶，都应该执行除二
  操作，因不论是否为偶数，C/C++的除二都会保留除二后的整数部分，即：
  等价于先化为不大于该数的偶数，再除二。而“奇数提出”的操作再上一
  步if条件句已经执行了。 */ 
  base*=base;//指数截半，底数加倍 
 } 
 return result;
}

高精度自然不在话下了，观看并仔细模拟下方完整代码自然能懂。但今日使用高精乘法时，有一个很大的收获，在此分享给大家，那就是：使用int数组进行高精计算强于使用字符串进行高精计算。（大大降低了算法难度，但代价是提高了程序占用空间）
下面放出完整代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 10010;
const int Lim = 500;
ll len;
int result[maxn]={
     1,1},base[maxn]={
     1,2};
void cal(int a[],int b[]){
     
 int tmp[maxn] = {
     0};
 tmp[0] = a[0]+b[0];
 if(tmp[0]>500) tmp[0] = 500;
 for(int i=0;i<a[0];i++){
     
  for(int j=0;j<b[0];j++){
     
   tmp[i+j+1] = a[i+1]*b[j+1] + tmp[i+j+1];
   if(tmp[i+j+1]>=10){
     
    tmp[i+j+2] += tmp[i+j+1]/10;
    tmp[i+j+1] %= 10;
   }
  }
 }
 for(int i=0;i<=tmp[0];i++) a[i]=tmp[i];
}
void Print(){
     
 for(int i=1,j=500;i<=500;i++){
     
  cout<<result[j--];
  if(i%50 == 0) cout<<endl;
 }
}
int main()
{
     
 ll p;
 cin>>p;
 len = log10(2)*p+1;
 cout<<len<<endl;
 
 while(p>0){
     
  if(p&1){
     
   cal(result,base);
  }
  p>>=1;
  cal(base,base);
 }
 result[1]-=1;
 Print();
 cout<<endl;
 return 0;
}

愉快的AC（学习题解+查找资料，刚看到题目时我是完全不会做的，AC后便学会了快速幂并优化了使用高精的思路）。（注：输出有坑，请仔细看题，笔者在输出倒了两次。）