协方差矩阵和相关矩阵

1、协方差矩阵

• 协方差是衡量两个随机变量（同一样本，不同分量）的相关程度。（方差描述的是一维变量）
• 随机变量 之间的协方差可以表示为

• 根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下（列向量相关）：

• 可以进一步地简化为：

• 协方差矩阵：

• 说明：

（1）协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差（不同维数的相关性，即列向量的相关性），是个对称矩阵，而不是不同样本之间的协方差，如元素Cij就是反映的随机变量Xi, Xj的协方差。

（2）协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。

（3）求协方差矩阵的matlab函数：cov

2、相关矩阵

• 相关系数：

著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为：

• 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。

当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。

当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。

当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。

一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。

• 相关矩阵也叫相关系数矩阵，是由矩阵各列间的相关系数构成的
• 也就是说，相关矩阵第i行第j列的元素是原矩阵第i列和第j列的相关系数
• 求取相关矩阵的matlab函数为：correoff

3、协方差矩阵和相关矩阵的关系

由二者的定义公式可知，经标准化的样本数据的协方差矩阵就是原始样本数据的相关矩阵。这里所说的标准化指正态化，即将原始数据处理成均值为0，方差为1的标准数据。

即：

                                     X'=(X-EX)/DX

用matlab函数表达为： 

                                     X'=zscore(X)

则协方差矩阵和相关矩阵的关系可表达为：

                           correoff(X)=cov(zscore(X))