径向基函数RBF三维网格变形

前言

之前写过径向基函数(RBF)神经网络做分类或者拟合。然后挖了个坑说在《Phase-Functioned Neural Networks for Character Control》里面提到了用于做地形编辑，所以这篇博客就是解析一下如何用RBF做网格编辑系统。

参考博客：

Noe’s tutorial on deforming 3D geometry using RBFs

基于参考博客的人脸网格编辑code

有很多网格变形算法的python包PyGem

《Real-Time Shape Editing using Radial Basis Functions》

简介

为了更好理解什么是网格变形，直接看第二个参考博客的效果：

图中实现的效果就是蓝色的点是黄色人脸模型的几个关键点，绿色的点是另一个没被显示的人脸模型的对应人脸3D关键点，使用RBF变形算法，基于蓝色到绿色的变换关系，将人脸变形到绿色关键点上。至于这个功能的用途请自行探索，后续有时间的话，搞不好我也会基于这个技术做个好玩的东东出来。

理论

其实理论基本就是参考博客的内容，不过那个博客里面对径向基函数的描述不是特别清晰。特别注意的是从PyGem工具包提供的RBF形变函数来看，RBF网格编辑会有个半径参数，可以控制形变影响区域，其实就是在计算径向基的时候，加了个额外的系数。

RBF插值

径向基函数插值的作用是能够在一些2D/3D离散点之间进行平滑插值。假设在3维空间中有M个离散点$x_i$，RBF就能提供整个离散空间中的平滑插值函数。函数就是M个径向基函数$g(r_i)$的结果之和，其中$r_i$是估算点和原始点的距离：
$$F(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^M{a}_{i}g(||\mathbf{x}–{\mathbf{x}}_i||)+c_0+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z,\mathbf{x}=(x,y,z)\cdots (1)$$
其中$a_i$是常量系数，后面四项$c_0$到$c_3$是一次多项式系数，这些项的就是无法单独使用径向基函数完成的一个仿射变换。

根据已有的M个离散值，可以构建M个函数$F(x_i,y_i,z_i)=F_i$，然后基于此，构建M+4个线性方程组$GA=F$，其中$F=(F_1,F_2,\dots ,F_M,0,0,0,0)$,$A=(a_1,a_2,\dots ,a_M,c0,c1,c2,c3)$，以及G是一个$(M+4)\times (M+4)$的矩阵
$$\mathbf{G}=\left[\begin{array}{cccccccccc}{g}_{11}& g_{12}& \bullet & \bullet & \bullet & g_{1M}& 1& x_1& y_1& z_1\\ g_{21}& g_{22}& \bullet & \bullet & \bullet & g_{2M}& 1& x_2& y_2& z_2\\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ g_{M1}& g_{M2}& \bullet & \bullet & \bullet & g_{MM}& 1& x_M& y_M& z_M\\ 1& 1& \bullet & \bullet & \bullet & 1& 0& 0& 0& 0\\ x_1& x_2& \bullet & \bullet & \bullet & x_M& 0& 0& 0& 0\\ y_1& y_2& \bullet & \bullet & \bullet & y_M& 0& 0& 0& 0\\ z_1& z_2& \bullet & \bullet & \bullet & z_M& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
其中$g_{ij}=g(||x_i-x_j||)$，g有很多不同的选择，同时也会导致不同的解。在参考博客中，使用了shift log function：
$$g(t)=\sqrt{\log (t^2+k^2)},k^2\ge 1$$
可以直接设置$k=1$，然后根据式(1)方程组，得到系数向量A。

其实上面的$g$就是传说中的径向基函数了，根据scipy的文档发现常用的径向基函数有：

'multiquadric': sqrt((r/self.epsilon)**2 + 1)
'inverse': 1.0/sqrt((r/self.epsilon)**2 + 1)
'gaussian': exp(-(r/self.epsilon)**2)
'linear': r
'cubic': r**3
'quintic': r**5
'thin_plate': r**2 * log(r)

这些函数在PyGem里面有独立的实现，只不过PyGem里面加入了半径系数r控制插值影响区域，比如对gaussian的实现：

def gaussian_spline(X, r=1):
        result = np.exp(-(X * X) / (r * r))
        return result

详细可自行查看PyGem源码

偏移插值(Interpolating displacements)

上一节的插值是给了一系列的离散点，求解这些位于这些离散点间的值。而偏移插值的意思又是什么捏？假设M个3D坐标点对应的形变信息都知道了，也就是有另一个3D偏移向量$u_i$，将对应索引的$x_i$进行了偏移，此时就可以将$x_i$视为控制点，这些点被移动到了$x_i+u_i$，RBF插值就是能够计算其余剩下的3D点对应的偏移量。

设${\mathbf{x}}_i=(x_i,y_i,z_i)$和${\mathbf{u}}_i=(u_i^x,u_i^y,u_i^z)$，那么同样可以列出线性方程组：

$$\mathbf{G}{\mathbf{A}}_x=(u_1^x,u_2^x,\dots ,u_M^x,0,0,0,0{)}^T$$

$$\mathbf{G}{\mathbf{A}}_y=(u_1^y,u_2^y,\dots ,u_M^y,0,0,0,0{)}^T$$

$$\mathbf{G}{\mathbf{A}}_z=(u_1^z,u_2^z,\dots ,u_M^z,0,0,0,0{)}^T$$

其中$\mathbf{G}$和$\mathbf{A}$与上一节描述的差不多，只不过求解目标从$F$变成了偏移量$u$。

求解完毕以后，需要对任意点x进行偏移量的计算，这一点文章没讲，但是从源码中分析发现就是$F$的计算公式：
$$F(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^M{a}_{i}g(||\mathbf{x}–{\mathbf{x}}_i||)+c_0+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z,\mathbf{x}=(x,y,z)\cdots (1)$$
这也难怪，毕竟偏移插值也是RBF理论，所以在即使求解目标不同，但是形式相同的情况下，插值函数还是一样的。

核心代码解析

C++

求解阶段

第二个参考博客的代码就是第一个参考博客的c++实现，其中有两个核心与上述理论对应，代码基于RBF插值理论实现了开头的人脸变形；

所以细节一：计算控制点的偏移量

// move control points
for (unsigned int i = 0; i

源码里面还有个系数(-cosf(morphtime)/2+0.5)不用管它，单纯为了显示变换过程设置的时间。

细节二计算形变系数，也就是公式1的代码如下：

RBFInterpolator(vector<real> x, vector<real> y, vector<real> z, vector<real> f)
{
     
	successfullyInitialized = false; // default value for if we end init prematurely.

	M = f.size();

	// all four input vectors must have the same length.
	if ( x.size() != M || y.size() != M || z.size() != M )
		return;	

	ColumnVector F = ColumnVector(M + 4);
	P = Matrix(M, 3);

	Matrix G(M + 4,M + 4);

	// copy function values
	for (unsigned int i = 1; i <= M; i++)
		F(i) = f[i-1];
	
	F(M+1) = 0;  F(M+2) = 0;  F(M+3) = 0;  F(M+4) = 0;

	// fill xyz coordinates into P 
	for (unsigned int i = 1; i <= M; i++)
	{
     
		P(i,1) = x[i-1];
		P(i,2) = y[i-1];
		P(i,3) = z[i-1];
	}

	// the matrix below is symmetric, so I could save some calculations Hmmm. must be a todo
	for (unsigned int i = 1; i <= M; i++)
	for (unsigned int j = 1; j <= M; j++)
	{
     
		real dx = x[i-1] - x[j-1];
		real dy = y[i-1] - y[j-1];
		real dz = z[i-1] - z[j-1];

		real distance_squared = dx*dx + dy*dy + dz*dz;

		G(i,j) = g(distance_squared);
	}

	//Set last 4 columns of G
	for (unsigned int i = 1; i <= M; i++)
	{
     
		G( i, M+1 ) = 1;
		G( i, M+2 ) = x[i-1];
		G( i, M+3 ) = y[i-1];
		G( i, M+4 ) = z[i-1];
	}

	for (unsigned int i = M+1; i <= M+4; i++)
	for (unsigned int j = M+1; j <= M+4; j++)
		G( i, j ) = 0;

	//Set last 4 rows of G
	for (unsigned int j = 1; j <= M; j++)
	{
     
		G( M+1, j ) = 1;
		G( M+2, j ) = x[j-1];
		G( M+3, j ) = y[j-1];
		G( M+4, j ) = z[j-1];
	}

	Try 
	{
      
		Ginv = G.i(); 

		A = Ginv*F;
		successfullyInitialized = true;
	}
    CatchAll {
      cout << BaseException::what() << endl; }
}

这里调用的时候，$x,y,z$就是控制点的原始坐标，$f$就是偏移量，比如对三个坐标分别建立插值函数：

RBFX = RBFInterpolator(controlPointPosX, controlPointPosY, controlPointPosZ, controlPointDisplacementX );
RBFY = RBFInterpolator(controlPointPosX, controlPointPosY, controlPointPosZ, controlPointDisplacementY );
RBFZ = RBFInterpolator(controlPointPosX, controlPointPosY, controlPointPosZ, controlPointDisplacementZ );

整个过程就是先利用距离和径向基函数构建$(M+4)\times (M+4)$维度的$G$

for (unsigned int i = 1; i <= M; i++)
	for (unsigned int j = 1; j <= M; j++)
	{
		real dx = x[i-1] - x[j-1];
		real dy = y[i-1] - y[j-1];
		real dz = z[i-1] - z[j-1];

		real distance_squared = dx*dx + dy*dy + dz*dz;

		G(i,j) = g(distance_squared);
	}

然后构建$(M+4)$维度的$F$，再去求解$GA=F$。

推断阶段

当任意的顶点过来以后，需要调用如下代码：

interpolate(real x, real y, real z)
{
	if (!successfullyInitialized)
		return 0.0f;
	real sum = 0.0f;
	// RBF part
	for (unsigned int i = 1; i <= M; i++)
	{
		real dx = x - P(i,1);
		real dy = y - P(i,2);
		real dz = z - P(i,3);
		real distance_squared = dx*dx + dy*dy + dz*dz;
		sum += A(i) * g(distance_squared);
	}	
	//affine part
	sum += A(M+1) + A(M+2)*x + A(M+3)*y + A(M+4)*z;
	return sum;
}

大致意思就是，需要将被估算顶点与M个已知形变顶点求基于距离的径向基函数的加和，然后使用系数乘一下，就得到了新的坐标，调用方法如下

void deformObject(TriangleMesh* res, TriangleMesh* initialObject, RBFInterpolator rbfX, RBFInterpolator rbfY, RBFInterpolator rbfZ)
{
     
	for (unsigned int i = 0; i < res->getParticles().size(); i++)
	{
     
		Vector3 oldpos = initialObject->getParticles()[i].getPos();

		Vector3 newpos;
		newpos[0] = oldpos[0] + rbfX.interpolate(oldpos[0], oldpos[1], oldpos[2]);
		newpos[1] = oldpos[1] + rbfY.interpolate(oldpos[0], oldpos[1], oldpos[2]);
		newpos[2] = oldpos[2] + rbfZ.interpolate(oldpos[0], oldpos[1], oldpos[2]);

		res->getParticles()[i].setPos(newpos);
	}
}

python

求解阶段

在PyGem代码中有实现，由于python对矩阵的操作更加简洁，所以看起来很清晰

def _get_weights(self, X, Y):
    npts, dim = X.shape
    H = np.zeros((npts + 3 + 1, npts + 3 + 1))
    H[:npts, :npts] = self.basis(cdist(X, X), self.radius)#, **self.extra)
    H[npts, :npts] = 1.0
    H[:npts, npts] = 1.0
    H[:npts, -3:] = X
    H[-3:, :npts] = X.T

    rhs = np.zeros((npts + 3 + 1, dim))
    rhs[:npts, :] = Y
    weights = np.linalg.solve(H, rhs)
    return weights

其中X，Y就是对应控制点形变前后的坐标位置，可以发现这里并没有按照常理出牌，正常情况应该就是对形变前后的差值做求解，不过事实证明，并不影响最终结果。

其中self.basis对应的是几种径向基函数的一个:

__bases = {
     
    'gaussian_spline': RBFFactory.gaussian_spline,
    'multi_quadratic_biharmonic_spline': RBFFactory.multi_quadratic_biharmonic_spline,
    'inv_multi_quadratic_biharmonic_spline': RBFFactory.inv_multi_quadratic_biharmonic_spline,
    'thin_plate_spline': RBFFactory.thin_plate_spline,
    'beckert_wendland_c2_basis': RBFFactory.beckert_wendland_c2_basis,
    'polyharmonic_spline': RBFFactory.polyharmonic_spline
}

求解方式也是没有用$G^{-1}F$，而是直接用np.linalg.solve求解了。

推断阶段

def __call__(self, src_pts):
    self.compute_weights()

    H = np.zeros((src_pts.shape[0], self.n_control_points + 3 + 1))
    H[:, :self.n_control_points] = self.basis(
        cdist(src_pts, self.original_control_points), 
        self.radius)
    #**self.extra)
    H[:, self.n_control_points] = 1.0
    H[:, -3:] = src_pts
    return np.asarray(np.dot(H, self.weights))

与求解阶段一样，先计算待预测坐标点与控制点的距离，然后输入到径向基函数中，最后利用系数乘一下，就得到了待预测坐标点的形变后位置。

实验

简单网格形变

蓝色的标记为规规整整的原始网格，黑色圆点为选取的形变点，红色三角为目标形变点，最终整个网格的形变结果就是红色三角形了。

人头形变

将c++两个人头拿过来，将控制点进行着色后，使用meshlab可视化看看

在python中将PyGem的代码抠出来，测试一下半径影响：

当形变半径影响为0.5时候

当形变半径影响为1.0时候，就是标准的RBF插值了

将0.5和1.0的放一起对比一下：

可以发现半径的设置的确对变形结果有一定影响。半径较小的时候，鼻子都被捏塌了，半径大点就好点，实际人脸变形的过程中，我们是不会使用这么简单的几个点的，肯定会加入更多的关键点。

后记

好像理论非常的简单，就是一个方程组的求解，只不过方程组的建立与径向基函数有关系。这玩意好像可以用来做捏脸什么的，以后有机会试试。

python版本的代码可以去PyGem上找到，或者本博客的代码在我的github上能找到，关注微信公众号查看公众号简介有，或者CSDN左侧栏有github网址。