函数与极限 第一节 映射与函数

函数与极限

第一节 映射与函数
映射(算子)的概念：设X,Y是两个非空集合，如果存在一个对应法则f，使得对X中每个元素x（元素y在映射f下的一个原像），按法则f，在Y中有唯一确定的元素y（元素x在映射f下的像）与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作f：X rightarrow Y
定义域：X， Df
陪域：Y
值域：Rf=f(X)={f(x), x in X}
Rf subset Y
满射：Rf=Y
单射：
forall x1,x2 in X
f(x1) neq f (x2)
双射(一一映射)：即是单射又是双射

函数	从实数集到实数集的映射
泛函	从非空集到数集的映射
变换	从非空集到它自身的映射

逆映射：记作f^(-1)
只有单射才有
复合映射：
g:X rightarrow Y1
f:Y2 rightarrow Z
记作f circ g: X rightarrow Z
f circ g(x)=f[g(x)]

函数：设数集D in R，则称映射f：D rightarrow R为定义在D上的函数
定义域
1、实际定义域
2、自然定义域
函数的几种特性
1、有界性
有上界：f(x)<=K1
有下界：f(x)>=K2
有界：exists M>0 |f(x)|<=M
无界：
forall M>0
exists x1 in D
st |f(x1)|>M
2、单调性
3、奇偶性
任意一个函数都可表示为一个奇函数和一个偶函数的和
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2
4、周期性
狄利克雷(Dirichlet)函数
D(x)= 1 , x in Q
_____0 , x in Q©
没有最小正周期，任何有理数都是它的最小正周期
其实常值函数也没有最小正周期
反函数：y=f^(-1)(x)
它的原函数称为直接函数
复合函数：y=f circ g(x)
其中u=g(x) , u称为中间变量
函数的运算
D=Df cap Dg
和（差）：f pm g , x in D
积：f*g , x in D
商：f/g , x in D \ {x|g(x)=0 , x in D}
初等函数
基本初等函数
1、指数函数
2、对数函数
3、幂函数
4、三角函数
5、反三角函数
常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和函数复合构成的能用一个式子表示的函数称为初等函数

• 双曲函数及其反函数在后文中详细说明