控制系统设计（一）：用Bode图设计相位超前校正网络

注意

\quad 相位超前校正只能改善系统的动态指标，对稳态指标没有影响

设计步骤

1. 求满足稳态要求的开环增益K

2. 根据上面的K，能够画出Bode图，在Bode图上找出增益剪切频率${\omega }_c$，满足$|G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)|=1$即在幅频Bode图$L(\omega )$上满足$20lg|G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)|=0$。然后可以找出相位裕量${\gamma }_1$和增益裕量$GM.1$

3. 确定超前校正需要提供的超前角${\varphi }_m$
   ${\varphi }_m$=${\gamma }_0$-${\gamma }_1$+$[\angle G(j{\omega }_{c1})H(j{\omega }_{c1})-G(j{\omega }_{c2})H(j{\omega }_{c2})]$
   ${\omega }_{c2}$是校正后的，中括号里面的是滞后量，一般取$5°$到$10°$。我们设计系统应使$L(\omega )$在${\omega }_c$处的斜率为-20dB/dec。如果原系统在${\omega }_{c1}$处比较平坦，我们就选择$5°$，反之就选择大一些的。

4. 计算$a=\frac{1+sin{\varphi }_m}{1-sin{\varphi }_m}$，打工人不需要知道为啥（就是推导懒得写，不为啥）

5. 在原系统的$L(\omega )$上，找出纵坐标为$-20lg\sqrt{a}$对应的$\omega$就是我们校正后的${\omega }_{c2}$

6. 根据 ${\omega }_{c2}=\frac{1}{\sqrt{a}T}$求出T，得到校正网络的传递函数：
   $$G_c(s)=\frac{1}{a}\cdot \frac{aTs+1}{Ts+1}$$

7. 画出校正系统$a{G}_c(s)G(s)=\frac{aTs+1}{Ts+1}\cdot G(s)$的Bode图，检验品质指标是否满足要求，不满足从第三步改变滞后量重新做起。
   至于验证的计算，举个简单的例子，这个是很方便的，只要你有计算器。
   $$a{G}_c(s)G(s)=\frac{100(0.02s+1)}{s(0.01s+1)(0.04s+1)}假设{\omega }_{c2}=63rad/s$$
   则$\gamma =180°+ta{n}^{-1}(0.02\times 63)-90°-ta{n}^{-1}(0.01\times 63)-ta{n}^{-1}(0.04\times 63)$

8. 注意：系统中插入的校正网络是$a{G}_c(s)$

系统超前校正前后对比

校正前$G(s)=\frac{100}{s(0.04s+1)}$，校正后$a{G}_c(s)G(s)=\frac{100(0.02s+1)}{s(0.01s+1)(0.04s+1)}$

Bode图对比

绿色线是校正前，红色线是校正后

单位阶跃响应对比

绿色线是校正前，红色线是校正后

总结

\quad 超前校正使系统超调量${\sigma }_p$下降了。上升时间$t_r$缩短了，带宽增加了，谐振峰值$M_p$下降了。