数理逻辑4 -- 公理化集合论1

集合论是所有数学的基础，很多数学概念都可用集合来表示。比如，我们可以用集合论建立自然数系统，也可建立函数。

从朴素的集合论角度来看，所谓一个集合，就是“一堆元素”。但罗素悖论指出，我们不能那样定义集合，否则就会产生罗素悖论。即是说，我们是否允许一个集合包含自身作为元素？如果允许，就会导致罗素悖论，即我们定义一个集合A，它的元素是所有哪些不属于自己的集合，那么试问是否A∈A？如果是，那么根据定义，A就不是A的元素。如果不是，还是根据定义，A就应该是A的元素。

公理化集合论就尝试建立一套“严谨”的集合论，它的主要作法是“规定”哪些东西才能算集合，哪些东西虽然“聚合了一堆东西，但却不是集合”。公理化集合论中最著名的当属ZFC，但是教材从一阶逻辑的角度建立了另一套公理化集合论。这些理论被证明是等价的，所以讨论其中一个，也可以洞察集合论的一些关键问题。

教材里建立的集合论称为NBG，作者说是为了纪念“Newmann-Bernays-Godel”。NBG是一阶逻辑理论，它的一阶语言里没有函数符号，也没有常量符号（当然，后面引用了一个常量符号，表示“空集”）。它只有一个谓词符号A22，这里不用A21是因为这个谓词通常用来表示=。A22就是所谓的“属于”，因此我们把A22(X,Y)简写成X∈Y，把¬A22(X,Y)简写成X∉Y。

在NBG中，变量符号用大写英文字母表示，例如X1,X2,Y1，等等，小写英文字母另有所用，后面再介绍。这里的变量符号可以赋给它们意义，即称为“类（class）”，然后满足某个好式子的类，才会被称为“集合（set）”。

接下来，我们定义几个常用的集合论符号。

定义4.1.1：
a. X=Y是(∀Z)(Z∈X⇔Z∈Y)的缩写
b. X⊆Y是(∀Z)(Z∈X⇒Z∈Y)的缩写
c. X⊂Y是X⊆Y∧X≠Y的缩写

我们很容易就能证明以下命题。
命题4.1：
a. ⊢X=Y⇔(X⊆Y∧Y⊆X)
b. ⊢X=X
c. ⊢X=Y⇒Y=X
d. ⊢X=Y⇒(Y=Z⇒X=Z)
证明：
a. 证⊢X=Y⇔(X⊆Y∧Y⊆X)
a.1 先证从左往右
1. X=Y，假设
2. (∀Z)(Z∈X⇔Z∈Y)，这是1的展开写法
3. Z∈X⇔Z∈Y，由2和A4
4. Z∈X⇒Z∈Y，由3和合取消除
5. (∀Z)(Z∈X⇒Z∈Y)，由4和Gen规则
6. X⊆Y，这是5的缩写
7. Y⊆X，由重复3-5的作法
8. X=Y⊢X⊆Y∧Y⊆X，由1-7
9. ⊢X=Y⇒(X⊆Y∧Y⊆X)，由8和演绎定理（过程中虽然用了Gen，但没对X=Y里面的X,Y作量词限定，因此演绎定理适用）

a.2 再证从右到左
1. X⊆Y∧Y⊆X，假设
2. (∀Z)(Z∈X⇒Z∈Y),(∀Z)(Z∈Y⇒Z∈X)，由1和合取消除
3. Z∈X⇔Z∈Y，由2、A4和合取引入
4. (∀Z)(Z∈X⇔Z∈Y)，由3和Gen规则
5. X=Y，这是4的缩写
6. X⊆Y∧Y⊆X⊢X=Y，由1-5
7. ⊢(X⊆Y∧Y⊆X)⇒X=Y，由6和演绎定理
证毕。

b. 证⊢X=X
1. Z∈X⇒Z∈X，由定理1.7（翻开第一章笔记，即⊢B⇒B）
2. Z∈X⇔Z∈X，由1和合取引入
3. (∀Z)(Z∈X⇔Z∈X)，由2和Gen规则
4. X=X，这是3的缩写
证毕。

c. 证⊢X=Y⇒Y=X
1. X=Y，假设
2. (∀Z)(Z∈X⇔Z∈Y)，这是1的展开写法
3. Z∈Y⇔Z∈X，由2、A4、合取消除、合取引入
4. (∀Z)(Z∈Y⇔Z∈X)，由3和Gen规则
5. Y=X，这是4的缩写
证毕。

d. 证⊢X=Y⇒(Y=Z⇒X=Z)
1. X=Y,Y=Z，假设
2. W∈X⇔W∈Y,W∈Y⇔W∈Z，对1展开，然后应用A4
3. W∈X⇔W∈Z，由2、应用两次传递规则
4. (∀W)(W∈X⇔W∈Z)，由3和Gen
5. X=Z，这是4的缩写
证毕。

接下来，我们一个一个地讨论NBG的特有公理（proper axiom），中间穿插一些定义和由此导出的结论。

定义4.1.2：
a. M(x)是(∃Y)(X∈Y)的缩写，此时可以称X为集合
b. Pr(x)是¬M(x)的缩写，此时X不是集合，是真类(proper class)

引理4.1.1：⊢X∈Y⇒M(X)
证明：
1. X∈Y，假设
2. (∀Y)(X∈Y)，由1和Gen规则
3. X∈c，由2和规则C
4. (∃Y)(X∈Y)，由3和E4规则
证毕。

我们用小写字母x,y来表示某个变量是”集合“。
定义4.1.3：
a. (∀xj)B(xj)是(∀X)(M(X)⇒B(x))的缩写
b. (∃xj)B(xj)是(∃X)(M(X)∧B(X))

以下命题称为”扩展原则“(extensionality principle)
引理4.1.2（扩展原则）：⊢X=Y⇔(∀z)(z∈X⇔z∈Y)
证明：
a. 先证从左往右
1. X=Y，假设
2. (∀W)(W∈X⇔W∈Y)，这是1的展开写法
3. W∈X⇔W∈Y，由2和A4
4. M(W)⇒(W∈X⇔W∈Y)，由3、A1和MP
5. (∀W)(M(W)⇒(W∈X⇔W∈Y))，由4和Gen规则
6. (∀z)(z∈X⇔z∈Y)，这是5的缩写

b. 再证从右往左
1. (∀z)(z∈X⇔z∈Y)，假设
2. (∀W)(M(W)⇒(W∈X⇔W∈Y))，这是1的展开写法
3. M(W)⇒(W∈X⇔W∈Y)，由2和A4
4. W∈X⇒M(W)，由引理4.1.1
5. W∈X⇒(W∈X⇔W∈Y)，由3、4和传递规则
6. (W∈X⇔W∈Y)⇒(W∈X⇒W∈Y)，合取消除
7. W \in X \Rightarrow (W \in X \Rightarrow W \in Y)，由5、6和传递规则
8. (W \in X \Rightarrow W \in X) \Rightarrow (W \in X \Rightarrow W \in Y)，由7、A2和MP
9. W \in X \Rightarrow W \in X，由命题1.7
10. W \in X \Rightarrow W \in Y，由8、9和MP
11. W \in Y \Rightarrow W \in X，重复3-10的方法，在4中换成W \in Y \Rightarrow M(W)即可
12. X = Y，由10、11、合取引入、Gen规则、缩写
证毕。

我们先列出所有公理，然后再一个个讨论。
NBG特有公理
1. Axiom T: X_1 = X_2 \Rightarrow (X_1 \in X_3 \Leftrightarrow X_2 \in X_3)。相等的两个类属于同一个类。
2. Axiom P: (\forall x)(\forall y)(\exists z)(\forall u)(u \in z \Leftrightarrow u=x \lor u=y)。配对公理（Pairing Axiom），对任意两个集合x, y，存在一个集合z，使得z的成员只有x, y两个。
3. Axiom N: (\exists x)(\forall y)(y \notin x)。空集公理（Null Set），存在一个集合，它没有任何成员。
4. Axioms of Class Existence:
(B1) (\exists X)(\forall u)(\forall v)( \in X \Leftrightarrow u \in v)， \in-关系
(B2) (\forall X)(\forall Y)(\exists Z)(\forall u)(u \in Z \Leftrightarrow u \in X \land u \in Y)，交集存在
(B3) (\forall X)(\exists Z)(\forall u)(u \in Z \Leftrightarrow u \notin X)，补集存在
(B4) (\forall X)(\exists Z)(\forall u)(u \in Z \Leftrightarrow (\exists v)( \in X))，域存在
(B5) (\forall X)(\exists Z)(\forall u)(\forall v)( \in Z \Leftrightarrow u \in X)
(B6) (\forall X)(\exists Z)(\forall u)(\forall v)(\forall w)( \in Z \Leftrightarrow \in X)
(B7) (\forall X)(\exists Z)(\forall u)(\forall v)(\forall w)( \in Z \Leftrightarrow \in X)
5. Axiom U: (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u \in y \Leftrightarrow (\exists v)(u \in v \land v \in x))，并集公理（Sum Set）。
6. Axiom W: (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u \in y \Leftrightarrow u \subseteq x)，幂集公理（Power Set）。
7. Axiom S: (\forall x)(\forall Y)(\exists z)(\forall u)(u \in z \Leftrightarrow u \in x \land u \in Y)，子集公理（Subsets）。
8. Axiom R: Fnc(Y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u \in y \Leftrightarrow (\exists v)( \in Y \land v \in x))，替换公理（Replacement）。
9. Axiom I: (\exists x)(\emptyset \in x \land (\forall u)(u \in x \Rightarrow u \cup \{u\} \in x))，无限公理（Axiom of Infinity）