近世代数--整环上的整除理论--欧几里得整环中的带余除法定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

欧几里得整环ED

• 整数环中的带余除法
  • $a,b\in Z,b\ne 0,\exists q,r\in Z,0\le r<|b|$使得$a=bq+r$

这里是欧几里得算法/辗转相除法，可以计算除整数环中带余除法的参数$q,r$。

在整环中是否存在带余除法？主理想整环中，存在的最大公因子$gcd(a,b)=au+bv$，参数$u,v$如何计算？

• 整环中的带余除法

  • $D$是整环，
  • 如果存在欧氏映射，$\phi :D-\{0\}\to N\cup \{0\}$，
  • 使得$\forall a,b\in D,b\ne 0,\exists q,r\in D,$使$a=bq+r,r=0$或$\phi (r)<\phi (b)$，

  那么$D$是欧几里得整环Euclidean domain,记作ED

欧几里得整环ED是主理想整环PID，因而也是唯一分解整环UFD

证明：每个ED是PID

$I$是欧几里得整环$D$的任一理想，$\phi$为欧氏映射，证$\forall I◃D,I$是主理想，即$\exists d\in D,$使$I=<d>$

• 如果$I=\{0\}$，又$<0>=0D=\{0d|d\in D\}=\{0\}\to I=<0>$
• 如果$I\ne \{0\}$，
  • 那么$\sum =\{\phi (a)|a\in I,a\ne 0\}$，映射到的是$N\cup \{0\}$的子集，是非负整数集的子集，所以$\sum$中有最小数。
  • 设$0\ne d\in I,$使$\phi (d)$最小 ，证明$I=<d>$
  • 易得$<d>\subseteq I$
  • 证明$I\subseteq <d>$
    • $\forall a\in I,a\ne 0,\exists q,r\in Z,$使得$a=dq+r,r=0$或$\phi (r)<\phi (d)\to r=a-dq\in I$
    • 如果$r\ne 0,\to \phi (r)<\phi (d)$，与$d$的选取产生矛盾$\to r=0\to a=dq\to I\subseteq <d>$