编程练习:剪绳子

编程练习:剪绳子

来源于牛客网的剑指Offer编程题目

题目描述

给你一根长度为 n n n的绳子,请把绳子剪成整数长的 m m m段( m , n m,n m,n都是整数, n > 1 n>1 n>1并且 m > 1 , m ≤ n m>1,m≤n m>1mn),每段绳子的长度记为 k [ 1 ] , . . . , k [ m ] k[1],...,k[m] k[1],...,k[m]。请问 k [ 1 ] × . . . × k [ m ] k[1]×...×k[m] k[1]×...×k[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。

题目分析

使用动态规划的思想分析问题:

在剪第一刀时有 n − 1 n-1 n1种选择,第一段的长度可以为 i = 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1 i=1,2,3,...,n-1 i=1,2,3,...,n1,第二段的长度为 n − i n-i ni,则两段绳子长度的最大乘积为:
L ( n ) = m a x ( i × L ( n − 1 ) ) , i = 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1 L(n)=max(i×L(n-1)),i=1,2,3,...,n-1 L(n)=max(i×L(n1)),i=1,2,3,...,n1
问题就转换为求解子问题 L ( n − 1 ) L(n-1) L(n1)。这是一个从上至下的递归问题,为了避免递归问题,采取从下至上的求解策略。先得到 L ( 2 ) , L ( 3 ) L(2),L(3) L(2)L(3),再获取 L ( 4 ) , L ( 5 ) , . . . L(4),L(5),... L(4),L(5),...
绳子的长度 n > 1 n>1 n>1,段数 m > 1 m>1 m>1,因此至少剪成2段

长度 分割策略 最大乘积
2 1*1 1
3 1*2 2
4 1×3,2×2 4
5 1×4,2×3 6

通过表格分析可以看出在 t a r g e t < 3 target<3 target<3时,最大乘积都小于自身不分割的长度,在 t a r g e t ≥ 4 target≥4 target4时通过分割为长度为1,2,3的不同长度得到的最大乘积大于等于绳子本来的长度。因此, t a r g e t < 3 target<3 target<3时作为子问题时不再分割而是以自身长度作为子问题的最优值。

代码实现

首先建立一个数组 p r o d u c t i o n production production存储不同长度的绳子分割得到的最大乘积值,即每个子问题的最优解,然后通过递推公式计算每个子问题的最优解从而得到全局最优解。

public int cutRope(int target) {
     
        if(target<2){
     //长度小于2时无法分割
            return 0;
        }else if(target==2){
     //长度等于2时只能分割为1×1
            return 1;
        }else if(target==3){
     //长度为3时只能分割为1×2
            return 2;
        }
        int[] production=new int[target+1];//存储每个长度的绳子分割之后的最大乘积值
        production[0]=0;//绳子长度为0的子问题最优解
        production[1]=1;//绳子长度为1的子问题最优解,长度为1不能分割,作为子问题时最优解为1
        production[2]=2;//绳子长度为2的子问题最优解,长度为2作为子问题时分割之后的最大乘积不如绳子自身长度,因此不分割
        production[3]=3;//绳子长度为3的子问题最优解,长度为3作为子问题时分割之后的最大乘积不如绳子自身长度大,因此不分割
        int max=0;//存储最大乘积
        for(int i=4;i<=target;i++){
     
            max=0;
            for(int j=1;j<=i/2;j++){
     
                int tmp=production[j] * production[i-j];//计算当前分割策略最大乘积值
                if(max<tmp){
     
                    max=tmp;//如果当前分割策略的最大乘积值优于之前的分割策略,则最新分割策略为当前分割策略,最大乘积值更新
                }
                production[i]=max;//绳子长度为i的问题最优解更新
            }
        }
        return production[target];//返回输入的绳子长度分割之后的最大乘积
    }

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