编程练习：剪绳子
编程练习：剪绳子
来源于牛客网的剑指Offer编程题目
题目描述
给你一根长度为 n n n的绳子，请把绳子剪成整数长的 m m m段（ m , n m,n m,n都是整数， n > 1 n>1 n>1并且 m > 1 ， m ≤ n m>1，m≤n m>1，m≤n），每段绳子的长度记为 k [ 1 ] , . . . , k [ m ] k[1],...,k[m] k[1],...,k[m]。请问 k [ 1 ] × . . . × k [ m ] k[1]×...×k[m] k[1]×...×k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
题目分析
使用动态规划的思想分析问题：
在剪第一刀时有 n − 1 n-1 n−1种选择，第一段的长度可以为 i = 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1 i=1,2,3,...,n-1 i=1,2,3,...,n−1，第二段的长度为 n − i n-i n−i，则两段绳子长度的最大乘积为：
L ( n ) = m a x ( i × L ( n − 1 ) ) , i = 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1 L(n)=max(i×L(n-1)),i=1,2,3,...,n-1 L(n)=max(i×L(n−1)),i=1,2,3,...,n−1
问题就转换为求解子问题 L ( n − 1 ) L(n-1) L(n−1)。这是一个从上至下的递归问题，为了避免递归问题，采取从下至上的求解策略。先得到 L ( 2 ) ， L ( 3 ) L(2)，L(3) L(2)，L(3)，再获取 L ( 4 ) , L ( 5 ) , . . . L(4),L(5),... L(4),L(5),...。
绳子的长度 n > 1 n>1 n>1，段数 m > 1 m>1 m>1，因此至少剪成2段
| 长度 | 分割策略 | 最大乘积 |
|---|---|---|
| 2 | 1*1 | 1 |
| 3 | 1*2 | 2 |
| 4 | 1×3，2×2 | 4 |
| 5 | 1×4，2×3 | 6 |
| … | … | … |
通过表格分析可以看出在 t a r g e t < 3 target<3 target<3时，最大乘积都小于自身不分割的长度，在 t a r g e t ≥ 4 target≥4 target≥4时通过分割为长度为1,2,3的不同长度得到的最大乘积大于等于绳子本来的长度。因此， t a r g e t < 3 target<3 target<3时作为子问题时不再分割而是以自身长度作为子问题的最优值。
代码实现
首先建立一个数组 p r o d u c t i o n production production存储不同长度的绳子分割得到的最大乘积值，即每个子问题的最优解，然后通过递推公式计算每个子问题的最优解从而得到全局最优解。
public int cutRope(int target) {
if(target<2){
//长度小于2时无法分割
return 0;
}else if(target==2){
//长度等于2时只能分割为1×1
return 1;
}else if(target==3){
//长度为3时只能分割为1×2
return 2;
}
int[] production=new int[target+1];//存储每个长度的绳子分割之后的最大乘积值
production[0]=0;//绳子长度为0的子问题最优解
production[1]=1;//绳子长度为1的子问题最优解，长度为1不能分割，作为子问题时最优解为1
production[2]=2;//绳子长度为2的子问题最优解，长度为2作为子问题时分割之后的最大乘积不如绳子自身长度，因此不分割
production[3]=3;//绳子长度为3的子问题最优解，长度为3作为子问题时分割之后的最大乘积不如绳子自身长度大，因此不分割
int max=0;//存储最大乘积
for(int i=4;i<=target;i++){
max=0;
for(int j=1;j<=i/2;j++){
int tmp=production[j] * production[i-j];//计算当前分割策略最大乘积值
if(max<tmp){
max=tmp;//如果当前分割策略的最大乘积值优于之前的分割策略，则最新分割策略为当前分割策略，最大乘积值更新
}
production[i]=max;//绳子长度为i的问题最优解更新
}
}
return production[target];//返回输入的绳子长度分割之后的最大乘积
}