高等数学上册复习

我是无论都不会想到我有这样用·CSDN一天的
顺便可以练习LaTex

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极限相关

常见等价无穷小

$x\to 0时,$

• $\sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim$
  $$\arctan x\sim e^x-1\sim \ln (x+1)\sim x$$
• ${(1+x)}^{\alpha }\sim \alpha x+1$
• $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$
  _{注：使用等价无穷小时，要注意换元和使用条件(欲使用等价无穷小的部分是整体式子的一个因子)
  注：计算极限时，非零因子可以提取出来}

练习题 1

• 当$x\to 0$ 时，${(1+k{x}^2)}^{\frac{1}{2}}-1$ 与 $\cos x-1$ 为等价无穷小，则$k=\_\_$
• $\text{应用上述2、3，显然, }k=-1$

练习题 2

• $$\underset{x\to 0}{\lim }(1+\cos x{)}^{\frac{3}{\cos x}}=\_\_$$
• $显然函数连续，所以答案也就是2^3=8$

复杂指数取指对数

也就是$$\underset{x\to 0}{\lim }{[u(x)]}^{v(x)}=e^{{\lim }_{x\to 0v(x)\ln u(x)}}$$

练习题 3

• $$\underset{x\to 0}{\lim }({\frac{\sin x}{x})}^{\frac{1}{x^2}}=\_\_$$
• $显然\frac{\sin }{x}不是一个整体意义的因子，因此不能使用等价无穷小，于是尝试取指对数，得到$$$e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}}$$ $此时对\ln \frac{\sin }{x}使用等价无穷小，原式即,$ $$e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^2}(\frac{\sin x}{x}-1)}$$ $也就是$$$e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}}$$ $应用洛必达法则，即$$$e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^2}}$$ $原则上可以接着洛，但也可对分子使用等价无穷小1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},于是答案为$$$e^{-1/6}$$

练习题 4

• $$\underset{x\to 0}{\lim }({\cos x)}^{\frac{1}{x^2}}=\_\_$$
• $取指对数，得e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{\ln \cos x}{x^2}}=e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}}=e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2x}}=$ $e^{-1/2}$

$n$ 阶无穷小

也即，${\lim }_{x\to 0}\alpha =0且{\lim }_{x\to 0}\beta =0,则称\alpha 和\beta 均是x\to 0时的无穷小$$以两式之商数量级划分出五类：$

这个商的极限	$\alpha 是\beta 的$
0	高阶无穷小
$\infty$	低阶无穷小
k	同阶无穷小
1	等价无穷小

特殊的，${\lim }_{x\to 0}\frac{\alpha }{{\beta }^m}=k$,则$\alpha 是\beta$的$m$ 阶无穷小
$注:k既不是0或1也不是\infty$

练习题 5

• $x\to 0时,\sqrt{1-x^2}-1是关于x的\_\_阶无穷小$
• $$x\to 0时，\sqrt{1-x^2}-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$$$使用上述第五条，答案是2$

练习题 6

• $$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x-1}{x+3}{)}^x=\_\_$$
• $LHS=e^{x\ln (\frac{x-1}{x+3})}=e^{x(\frac{x-1}{x+3}-1)}=e^{-4}$
  $其中，最后一步使用到$
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x-1}{x+3})=\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}})=1$$

积分的一丢丢知识

公式：若f(x)连续，则有$
$$[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}\mathrm{t}{]}^{\prime }=f(x)$$
以及 $$[{\int }_x^{0}f(t)\mathrm{d}\mathrm{t}{]}^{\prime }=-f(x)$$
还有 $$\{{\int }_0^{g(x)}f[g(x)]\mathrm{d}\mathrm{t}{\}}^{\prime }=f[g(x)]g^{\prime }(x)$$于是，你应该知道了 $$\{{\int }_{x^2}^{x^3}f(t)\mathrm{d}\mathrm{t}]{\}}^{\prime }=3x^{2}f(x^3)-2xf(x^2)$$

练习题 7

• $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x(\tan t-t)\mathrm{d}\mathrm{t}}{x^2\ln (1+x^2)}=\_\_$$
• 直接洛…是不太好操作的 $对分母进行等价无穷小，就变成了$ $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x(\tan t-t)\mathrm{d}\mathrm{t}}{x^4}$$洛，得$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\tan x-x)}{4x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sec }^{2}x-1}{12x^2}$$ $$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\tan }^{2}x}{12x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{12x^2}=\frac{1}{12}$$

有界函数$\ast 0$ = $0$

练习题 8

• $$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=\_\_$$
• $显然，0$

练习题 9

• $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin (x+\cos x)}{\ln x}=\_\_$$
• $显然，0$

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导数

1. 定义$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_o)& =\underset{x\to x_o}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{array}$$
2. 分段函数在分段点的导数必须使用导数的定义计算
   比如说对于$$f(n)=\{\begin{array}{ll}n/2,& \text{if }\text{ x > 0}\\ 3n+1,& \text{if }\text{ x ≤ 0}\end{array}$$中 $x=0$ 处的导数就应该使用定义来计算 $$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3$$
3. 抽象函数在一处的导数必须使用导数的定义计算
4. 复合函数求导 $$\{f[g(x)]{\}}^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]\cdot g^{\prime }(x)$$
5. 参数方程求导$$\{\begin{array}{l}x=v(t)\\ y=u(t)\end{array}$$
   则有一阶导数：$$y^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\frac{u^{\prime }(t)}{v^{\prime }(t)}$$
   有二阶导数：$$y^{\prime \prime }(x)=\frac{\mathrm{d}{\mathrm{y}}^{\prime }(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=[\frac{u^{\prime }(t)}{v^{\prime }(t)}{]}^{\prime }\cdot \frac{1}{v^{\prime }(t)}$$
6. 反函数求导
   如果有$y=f(x),x=g(y)$
   则有一阶导数:
   $$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$
   有二阶导数:
   $$g^{\prime \prime }(y)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{[f^{\prime }(x){]}^3}$$
7. 隐函数求导
   对于$f(x,y)=0$
   有一阶导数：
   $$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=-\frac{{\mathrm{F}}_{\mathrm{x}}}{{\mathrm{F}}_{\mathrm{y}}}$$
   注意负号

练习题 10

• $$e^{x+y}=x^2+y^2+1,y^{\prime }(x)=\_\_$$
• $F_x=2x-e^{x+y},F_y=2y-e^{x+y},所以答案就是$$$y^{\prime }=\frac{2x-e^{x+y}}{e^{x+y}-2y}$$

练习题 11

• $$\begin{gathered} f(x)=(x+1)\cdot (x^3-x+1) \\ 则f^{(2019)}(x)=\_\_ \end{gathered}$$
• $观察其形式是一个幂函数，又因为最高次为4，不超过2019，故答案是0$

练习题 12

• $$\begin{gathered} y=f(x)在x=x_0可微，则下列不正确的是\_\_ \\ \begin{array}{rl}& A.\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)不存在\\ & B.f(x)在x=x_0连续\\ & C.f(x)在x_0处可导\\ & D.f(x)在x_0处有定义\end{array} \end{gathered}$$
• 可微即可导_{(不严谨地说)}，可导$\Leftarrow$连续$\Leftarrow$极限存在，也即$A$错误

练习题 13

• $$f^{\prime }(3)=2,则\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3-h)-3}{2h}=\_\_$$
• 凑导数定义$$\begin{gathered} {\lim }_{h\to 0}\frac{f(-h+3)-f(3)}{-h}=f^{\prime }(3), \\ LHS=-\frac{1}{2}{f}^{\prime }(3),故答案为-1 \end{gathered}$$
• 如果是选择题，不妨设$f(x)=2x$，得出结果即可

练习题 14

• $设\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\sin t-t\cos t\end{array},求\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}$
• 也就是求二阶导
  $$y^{\prime \prime }(x)=\frac{\mathrm{d}{\mathrm{y}}^{\prime }(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=[\frac{u^{\prime }(t)}{v{(}^{\prime }t)}{]}^{\prime }\cdot \frac{1}{v^{\prime }(t)}$$
  $u^{\prime }(t)=t\sin t,v^{\prime }(t)=-\sin t$$$f^{\prime }(x)=[\frac{t\sin t}{-\sin t}]=-t$$其二阶导为 $$\frac{\mathrm{d}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{dx}=\frac{\mathrm{d}-\mathrm{t}}{dx}=-\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}}=\frac{1}{\sin t}$$

练习题 15

• $设y=f(x)由\sin (xy)+3x+y-1=0所确定，则\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{|}_{x=0}=\_\_$
• $$\begin{gathered} F_x=y\cos (xy)+3,F_y=x\cos (xy)+1.x=0,y=1故所求为 \\ -\frac{y\cos (xy)+3}{x\cos (xy)+1},带入x,y,即为-4 \end{gathered}$$

练习题 16

• $$f(x)=\left|x-2\right|,求f^{\prime }(2)$$
• $显然，不存在$

练习题 17

• $已知f{(}^{\prime }a)存在,则$$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=\_\_$$
• 解答：
  $$\begin{array}{rl}LHS& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}{h}\\ & =f^{\prime }(a)-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\\ & =f^{\prime }(a)-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-h+a)-f(a)}{h}\\ & =f^{\prime }(a)-(-f^{\prime }(a))\\ & =2f^{\prime }(a)\end{array}$$
  $如果是选择题，不妨令f(x)=x，解答即可$

练习题 18

• $$y=f(x)由\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=\ln (1+t)\end{array}所确定，求y^{\prime \prime }(x)$$
• 一阶导：$\frac{1}{2t(t+1)}故二阶导$$$(\frac{1}{2t(t+1)}{)}^{\prime }\cdot \frac{1}{2t}=-\frac{1}{4}(\frac{2t+1}{t^3(t+1{)}^2})$$

练习题 19

• $$y=x^{\sin x}的微分是\_\_$$
• $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\mathrm{y}& =e^{\sin x\cdot \ln x}\cdot (\cos x\cdot \ln x+\frac{\sin x}{x})dx\\ & =x^{\sin x}\cdot (\cos x\cdot \ln x+\frac{\sin x}{x})dx\end{array}$$

练习题 20

• $$[{\int }_{x^2}^{1}f(t)\mathrm{d}\mathrm{t}{]}^{\prime }=\_\_\_$$
• $显然是-2x\cdot f(x^2)$
• $$[{\int }_{\sin x}^{x^2}f(2t)\mathrm{d}\mathrm{t}{]}^{\prime }=\_\_\_$$
• $2x\cdot f(2x^2)-\cos x\cdot f(2\sin x)$

练习题 21

• $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x\le 0\\ \ln (x+1)& x>0\end{array},求f^{\prime }(x),并讨论f^{\prime \prime }(0)是否存在$$
• 首先是分段函数，分段点需要使用定义来计算
  $$\begin{gathered} x=0时， \\ \begin{array}{rl}& f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\\ & f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\end{array}\Rightarrow f^{\prime }(0)=1 \end{gathered}$$，于是$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\le 0\\ \frac{1}{x+1}& x>0\end{array}$$
• 其次是二阶导处的，当然也是一样的手段$$\begin{gathered} x=0时， \\ \begin{array}{rl}& f_{+}^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f_{+}^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x-0}=\frac{\frac{1}{x+1}-1}{x}=-1\\ & f_{-}^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f_{-}^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x-0}=\frac{1-1}{x}=0\end{array} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime }(0)不存在 \end{gathered}$$

练习题 22

• $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos 2x)f(x)}{x^3}=1,且f(0)=0，求f^{\prime }(x)$$
• 首先对$1-\cos 2x$使用等价无穷小，原式化为$2{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$，而$f(0)=0,{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(x)$，所以答案就是$1/2$

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导数的几何应用

1. 一阶导数体现增$f^{\prime }(x)>0$减$f^{\prime }(x)<0$性，突变点横坐标叫做极值点，其中$$\begin{array}{r}若f^{\prime }(x)=0,f^{\prime \prime }(x)>0,x=x_0是极小值点\\ 若f^{\prime }(x)=0,f^{\prime \prime }(x)<0,x=x_0是极大值点\end{array}$$
2. 二阶导数体现凹$f^{\prime \prime }(x)>0$凸$f^{\prime \prime }(x)<0$性，突变点叫做拐点，也就是$f^{\prime \prime }(x_0)=0且f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$的点
3. 切线和法线用一阶导算
   $$\begin{gathered} 切线：y-y_0=y^{\prime }(x_0)(x-x_0) \\ 法线：x-x_0=-y^{\prime }(x_0)(y-y_0) \end{gathered}$$
4. 驻点就是导数为$0$的点
5. 无法通过极值点来判断极值的解决方法:定义

练习题 23

• $y=e^x-1在(0,0)处的切线方程$
• $y=x$

练习题 24

• $求曲线y=x{e}^{-x}的凹凸区间与拐点$
• $$\begin{gathered} y^{\prime }=e^{-x}(1-x),y^{\prime \prime }=e^{-x}(x-2),令y^{\prime \prime }=0\Rightarrow x=2.故凹区间为\left(2,+\infty \right),凸区间为\left(-\infty ,2\right)， \\ 拐点为\left(2,2e^{-2}\right) \end{gathered}$$

练习题 25

• $f(x)=a\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x在x=\frac{\pi }{3}有极值,a=\_\_$
• $f^{\prime }(x)=a\cos x+\cos 3x\Rightarrow f^{\prime }(\frac{\pi }{3})=0\Rightarrow a=2$

练习题 26

• $曲线y=e^{-x^2}的凸区间是\_\_$
• $y^{\prime }=e^{-x^2}\cdot (-2x),y^{\prime \prime }=e^{-2x}\cdot (4x^2-2),令f^{\prime \prime }(x)<0\Rightarrow x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

练习题 27

• $$y=\frac{(x-3{)}^2}{4(x-1)}的单调区间是\_\_$$
• $$y^{\prime }=\frac{1}{4}\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$$$显然,\left(-\infty ,-1\right)与\left(3,+\infty \right)为增区间，$$而\left(-1,1\right)与\left(1,3\right)为减区间$

练习题 28

• $$y=f(x)由\{\begin{array}{l}x=t^2+1\\ y=4t-t^2\end{array},(t\ge 0)所确定，讨论其凹凸性$$
• $f^{\prime }(x)=\frac{2}{t}-1,f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{t^3},显然t\ne 0，于是当t>0时,x>1,令f^{\prime \prime }(x)<0,得x\in \left(1,+\infty \right)$

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渐近线、间断点

1. 连续的定义：$f(x)在x=x_0处满足{\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$
2. 若 $f(x)在x=x_0处不连续，则x=x_0是f(x)的间断点，分为两类$
   $$\{\begin{array}{l}第一类\{\begin{array}{l}可去间断点{\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)\ne f(x_0)\\ 跳跃间断点{\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)\end{array}\\ 第二类\{\begin{array}{l}无穷间断点{\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty \\ 震荡间断点{\lim }_{x\to x_0}f(x)震荡\end{array}\end{array}$$
   给出四个例子：

可去间断点	跳跃间断点	无穷间断点	震荡间断点
$y=x,x\ne 0$	$y=\{\begin{array}{l}x+1\\ x-1\end{array}$	$y=\frac{1}{x}$	$y=\sin \frac{1}{x}$

3. 渐近线

• 水平渐近线
  $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$$
  $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=B$$
• 斜渐近线
  $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$$且$$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-ax]=b$$
  则$$y=ax+b是f(x)的一条斜渐近线$$
  _{同一方向上，斜渐近线和水平渐近线不能共存}
• 竖直渐近线
  $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$$则$x=a是y=f(x)的竖直渐近线$
  竖直渐近线只可能出现在无定义点和分段函数的分段点处

练习题 29

• $$求y=\frac{x^2-2x+4}{x+1}的斜渐近线$$
• $$\begin{gathered} {\lim }_{x\to +\infty }\frac{y}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2-2x+4}{x(x+1)}=1 \\ {\lim }_{x\to +\infty }(y-1\cdot x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-3x+4}{x+1}=-3 \\ 所以在正无穷方向上是 \end{gathered}$$$$y=x-3$$$而在负无穷方向采取同样的方式可以计算出y=x-3$

练习题 30

• $$求y=\frac{x+1}{x^2-1}的竖直渐近线$$
• $$\begin{gathered} 首先，分两类:x=\pm 1. \\ 1.x=1{\lim }_{x\to +1}f(x)=\infty \\ 2.x=-1{\lim }_{x\to -1}f(x)=1/2 \\ 于是x=1是函数第竖直渐近线 \end{gathered}$$

练习题 31

• $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{2}& x\ne 0\\ 2& x=0\end{array}，则x=0是f(x)的\_\_\_$$$\begin{array}{rl}& A.连续点\\ & B.可去间断点\\ & C.无穷间断点\\ & D.跳跃间断点\end{array}$
• $上式的极限是0，f(0)=2,可去,所以B$

练习题 32

• $$y=x\cdot \sin \frac{1}{x}的渐近线共有\_\_\_条$$
• $$\begin{gathered} 1.水平渐近线:{\lim }_{x\to \infty }x\cdot \sin \frac{1}{x}={\lim }_{x\to \infty }x\cdot \frac{1}{x}=1,(正负无穷的重合了)共有一条 \\ 2.斜渐近线:在同一个方向上水平与斜不共存，于是为0条 \\ 3.竖直渐近线:li{m}_{x\to 0}x\cdot \sin \frac{1}{x}=0(无穷小与有界函数的乘积依然是无穷小), \end{gathered}$$$故为0条$
• 因此答案是$1$

练习题 33

• $叙述并证明拉格朗日中值定理$
• $若f(x)在\left[a,b\right]连续,\left(a,b\right)可导，\exists \xi \in \left(a,b\right)$ $$s.t.f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
• $$\begin{gathered} prove:令F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot x \\ F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot a=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \\ F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot b=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \\ =F(a) \\ 由罗尔定理,\exists \xi \in \left(a,b\right),s.t.F^{\prime }(\xi )=0，即命题(得证)\# \end{gathered}$$

练习题 34

• $利用微分中值定理证明$$$\frac{b-a}{b}<\ln \frac{b}{a}<\frac{b-a}{a},(0<a<b)$$
• 事实上，利用高中的导数知识来看…是显然的 $也即$$$\frac{1}{b}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$$$构造函数F(x)=\ln x,则原式化为$ $$a<\xi <b$$ $而这即为拉格朗日中值定理，证毕\#$

练习题 35

• $设f(x)在\left[0,1\right]连续,\left(0,1\right)可导,证明:$ $\begin{array}{rl}1.& 在\left(0,1\right)存在一点，使得f(\xi )=1-\xi \\ 2.& 在\left(0,1\right)上存在两个不同的点{\eta }_1,{\eta }_2，使得f^{\prime }({\eta }_1){\cdot }^{\prime }({\eta }_2)=1\end{array}$
• $prove:1.观察到没有中值定理的特征，即f^{\prime }(\xi )，于是使用零点定理，构造F(x)=f(x)+x-1,F(0)=-1<0,F(1)=1>0\Rightarrow \exists \xi \in \left(0,1\right)s.t.F(\xi )=0,即命题.证毕\#$
  $$\begin{gathered} 2.使用第一问的结论,取\xi \in (0,1)\{\begin{array}{l}f(\xi )-f(0)=\xi \cdot f^{\prime }({\eta }_1)\\ f(\xi )-f(1)=\xi \cdot f^{\prime }({\eta }_2)\end{array} \\ 解出，\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }({\eta }_1)=\frac{1-\xi }{\xi }\\ f^{\prime }({\eta }_2)=\frac{\xi }{1-\xi }\end{array} \\ {f}^{\prime }({\eta }_1)\cdot f^{\prime }({\eta }_2)=1,得证\# \end{gathered}$$