序结构

1. 前言

4. 序结构

定义1(二元关系). 设$X$是一个集合，$\mathcal{R}$是$X\times X$的子集，则称$\mathcal{R}$是$X$的一个二元关系。$\mathcal{R}$中的元素$(a,b)$通常被记为$a\mathcal{R}b$。

当$\mathcal{R}$是$X$的对角时
$$\mathcal{R}={\Delta }_X=\{(a,a):a\in X\}$$
该二元关系被记为$=$。

定义2(序关系). 设$X$是一个集合，$\mathcal{R}$是一个二元关系。当$\mathcal{R}$满足性质

• 自反性。即

5. ${\omega }_1$的构造

设$X$是不可数集合，根据选择公理，$X$上可以定义一个良序（Well Ordering），也就是满足如下性质的序：

• 设$A$是$X$是非空子集，则$A$中存在极小元$a$，即$a\in A$，且对任何$b\in A$，有$a\le b$。

特别地，上述条件说明$A$中任何两个元素都可以比较，即

命题1. 良序一定是线性序。

定义$\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}a$为$X$中所有小于$a$的元素构成的集合，即
$$\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}a=\{x\in X:x<a\}.$$
定义$Y=\{y\in X:\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}y是不可数的\}$，当$Y$不是空集时，根据良序性，存在$Y$的极小元$y_0$，此时定义
$${\omega }_1:=\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}{y}_0,$$
当$Y=\varnothing$时，定义${\omega }_1=X$。这样定义的${\omega }_1$被称为第一不可数序。

命题2. 如上定义的${\omega }_1$具有性质：

• ${\omega }_1$是具有良序的不可数集合。
• 任何$x\in {\omega }_1$，$\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}x$是可数的。
• 对于序列$\{x_n\}\subset {\omega }_1$，存在$y\in {\omega }_1$使得
  $${\cup }_n\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}{x}_n=\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}y$$
  我们记$y=\sup x_n$.

我们在${\omega }_1$上定义线性序拓扑：一族拓扑基为如下形式

• $(-\infty ,a):=\{x\in {\omega }_1:x<a\}$.
• $(b,\infty ):=\{x\in {\omega }_1:x<b\}$.
• $(a,b):=\{x\in {\omega }_1:a<x<b\}$.

命题3. 验证：

• 如上定义确实是一个拓扑基.
• 设序列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$都包含于${\omega }_1$中，且$x_n\le y_n\le x_{n+1}$，则
  $$\sup x_n=\sup y_n，\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\sup x_n，\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\sup y_n.$$
• $\mathbb{R}$中通常的拓扑就是线性序拓扑.
• 设$A,B$为${\omega }_1$中不交的闭子集，则至少其中一个是可数集.
• ${\omega }_1$上的连续实值函数最终是常数，即存在$A\in {\omega }_1$使得任何$x\ge A$，有常数$c$使得
  $$f(x)=c.$$