分布理论

1. 前言

分布（distribution）概念的起源可以追溯到1830年，当时开始使用Green函数来解常微分方程，但是当时还只是零碎的知识点，并未形成完整的体系。根据Kolmogorov和Fomin的整理，Sergi Sobolev于1936年在解二阶双曲微分方程时正式提出广义函数的概念，该想法在40年代被Laurent Schwartz正式发展成如今称为“分布理论”的数学理论。通过Schwartz的自传，他类比电量的分布，给这种广义函数命名为“分布”。Gårding在1997年评论道，虽然Schwartz在1951年出版的巨著《Theorie des distributions》的想法不是新的，但通过Schwarz的努力和强烈的信念，使得分布理论成为整个分析学科的基石，发挥了强大的威力。

------摘自Wikipedia.

拓扑线性空间是Banach空间的推广，分布理论是建立在拓扑线性空间的基础上的，然而，拓扑线性空间是一个大的课题，我们不可能对其详细的介绍，因此我们只介绍对我们有用的那部分知识。在此之前，由于我还没写点集拓扑方面的Notes，因此我们不得不补充一些拓扑的知识。

2. 预备知识

我们假设读者已经了解点集拓扑的一些基础概念，例如开集，邻域，紧空间等等，我们现在讨论拓扑空间中的收敛性。
我们知道，在度量空间中，许多拓扑性质可以用序列刻画，例如

• 在度量空间$X$中，集合$A\subset X$，则$A$的闭包可以被序列刻画：
  $$\overline{A}=\{x\in X:存在序列x_n\in A，且d(x_n,x)\to 0\}.$$

但是在一般的拓扑空间中，序列这个概念已经不足以刻画拓扑性质了，例如

(第一不可数序，the first uncountable ordinal) 我们在文章集合与拓扑/第一不可数序中介绍了第一不可数序${\omega }_1$，在序拓扑中，${\omega }_1=\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}{y}_0\subset (-\infty ,y_0]$，验证：

• ${\omega }_1$在$(-\infty ,y_0]$中是序列闭的，即任何收敛序列$\{x_n\}\subset {\omega }_1$的极限$x$仍在${\omega }_1$中。
• ${\omega }_1$在$(-\infty ,y_0]$中不是闭集。

因此，我们需要一些更广泛的概念来描述拓扑性质。1922年，Moore和Smith发现了一种序列的推广，几乎可以完美地刻画拓扑性质，他们称之为“网（nets）”。1937年，Cartan发现另一种推广，被称为“滤子（filters）”，虽然滤子的定义看起来和序列关系不大，但滤子也能刻画拓扑性质，在某种意义下，比网更合适。
我们将证明，滤子和网的概念事实上是等价的。

3. 拓扑线性空间

定义1. 设$(X,\mathbb{F})$是线性空间，其中$\mathbb{F}$是$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$。$X$上存在一个拓扑$\mathcal{T}$，称$(X,\mathbb{F},\mathcal{T})$是一个拓扑线性空间，如果$X$上的线性结构和拓扑结构是相容的，即

• 对于$x,y\in X$，映射$$+:X\times X\to X,(x,y)\mapsto x+y$$
  是连续的。
• 对于$x\in X$和$\lambda \in \mathbb{F}$，映射
• $$\cdot :\mathbb{F}\times X\to X,(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$$
  是连续的，其中$\mathbb{F}$赋予的是$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$的通常拓扑，$\mathbb{F}\times X$赋予乘积拓扑。

我们注意到，根据拓扑线性空间的定义
$${\pi }_1:X\times \mathbb{F}\times X\to X,(x,\lambda ,y)\mapsto x$$
$$\cdot \circ {\pi }_2:X\times \mathbb{F}\times X\to \mathbb{F}\times X\to X,(x,\lambda ,y)\mapsto (\lambda ,y)\mapsto \lambda y$$
都是连续的，故根据乘积拓扑，$({\pi }_1,\cdot \circ {\pi }_2)$是连续的，故
$$+\circ ({\pi }_1,\cdot \circ {\pi }_2):X\times \mathbb{F}\times X\to X,(x,\lambda ,y)\mapsto x+\lambda y$$
是连续的。特别地，当$\lambda =-1$时，$(x,y)\mapsto x-y$是连续的，故拓扑线性空间$(X,\mathbb{F},\mathcal{T})$是一个Abelian拓扑群。
特别地，当$\lambda ,x$都固定时，映射$$f:X\to X,y\mapsto x+\lambda y$$是连续的，显然，当$\lambda \ne 0$时，$f^{-1}(y)={\lambda }^{-1}y-{\lambda }^{-1}x$存在且连续，故$f$是拓扑同胚。