三阶矩阵+QR分解+HouseHolder+Python 代码计算实例

提示：三阶QR 分解计算实例————保姆级分解过程

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前言

QR分解法求解特征值应用范围广泛，是本世界十大算法之一，可以求解任意矩阵的特征值，也是研究生《数值分析》课程中重要的章节，考试重点（武汉大学）。
这里有详细的三阶矩阵的QR分解计算步骤，可供大家理解QR算法。（敲黑板考试重点）

提示：下面案例可供参考，并附有python代码（成功运行）

一、QR分解理论推导

这里有一个很详细的理论推导过程，参考下面的博客。
基于HouseHolder变换的QR分解理论推导过程

二、案例解析

1.对A=$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& -1\\ 2& -4& 5\end{array}\right)$进行QR分解，求出QR。

解：QR分解过程如下：

step1：

S₁ =$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$e₁ =$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
c₁ = -sign(a₁₁)$\sqrt{S{1}^T\ast S1}$
U₁= S₁-c₁*e₁
    =$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
H₁= I - 2U₁ *U₁^T/(U₁^T *U₁ )
    =$\left(\begin{array}{ccc}-1/3& -2/3& -2/3\\ -2/3& 2/3& -1/3\\ -2/3& -1/3& 2/3\end{array}\right)$
A₁=H₁A
    =$\left(\begin{array}{ccc}-3& 3& -3\\ 0& 0& -3\\ 0& -3& 3\end{array}\right)$

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、

step2：

S₂ =$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ e₂ =$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
c₂ = -sign(a₂₂)$\sqrt{S{2}^T\ast S2}$
U₂= S₂-c₂*e₂
    =$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -3\end{array}\right)$
H₂= I - 2U₂ *U₂^T/(U₂^T *U₂ )
    =$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$
A₂=H₂A₁
    =$\left(\begin{array}{ccc}-3& 3& -3\\ 0& 3& -3\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

step3：

R = A₂
    =$\left(\begin{array}{ccc}-3& 3& -3\\ 0& 3& -3\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$
Q = H₁ H₂
    =$\left(\begin{array}{ccc}-1/3& 2/3& 2/3\\ -2/3& 1/3& -2/3\\ -2/3& -2/3& 1/3\end{array}\right)$
分解完毕，即可进行一次QR迭代

三、总结

1、提取S_n

2、计算c_n

3、计算H_n

4、计算A_n+1 = H_n*A_n

一直迭代到A的所有的下三角区域均为0。

四、笔算推导附录

五、附录python代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Jan  4 21:42:08 2021

@author: Jin
"""
# =============================================================================
import numpy as np
import math
import copy

def CGS(A):
    w= A.shape[0]
    Q = np.zeros_like(A, dtype=np.float32)
    R = np.copy(Q)
    for i in range(w):
        a = A.T[i]
        q = np.copy(a)
        for j in range(0, i):
            r = np.dot(Q[:,j],a) 
            R[j,i] = r
            q -= np.dot(r,Q[:,j])
        q_norm = np.linalg.norm(q)
        R[i,i] = q_norm
        Q[:,i] = q/q_norm
    return Q, R 
def matrix_multi(mat1, mat2):
    res = []
    rows = len(mat1[0])
    cols = len(mat1)
    for i in range(rows):
        temp = [0 for i in range(cols)]
        res.append(temp) 
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            sm = 0
            for k in range(cols):
                sm += (mat1[k][i] * mat2[j][k])
            res[j][i] = sm
    return res
def matrix_T(matrix):
    mat = copy.deepcopy(matrix)
    m = len(mat[0])
    n = len(mat)
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i < j:
                temp = mat[i][j]
                mat[i][j] = mat[j][i]
                mat[j][i] = temp
    return mat
def eig(A) :
    if A is None :
        return
    val = []
    times = 20  # 迭代次数
    tmp_mat = copy.deepcopy(A)
    for i in range(0, times) :
        (Q,R)=CGS(tmp_mat)
        tmp_mat = matrix_multi(R, Q)
        tmp_mat = matrix_T(tmp_mat)

        row = len(tmp_mat)
        col = len(tmp_mat[0])
        for i in range(0, row) :
            for j in range(0, col) :
                if i == j:
                    val.append(tmp_mat[i][j])
        
        return val
val = eig( A)
print(val)

原创文章，引用注明链接！

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