卡片收集问题

问题

春节产品设计了一个集卡活动，有45张卡片，共有53次抽卡机会，问我集齐卡片的概率是多大？集齐卡片的抽卡次数期望是多少？

解答

• 一般性的，设卡片有m张，抽取机会有n次，那么n次集齐的概率
  

  P(n,m)=m!⋅S(n,m)mn=∑mi=0(−1)i⋅Cim(m−i)nmn
  
  其中 S(n,m) 是第二类斯特林数（见后文）。将n次选择看做n个小球，m张卡片看做m个不同盒子，则有 m!⋅S(n,m) 种方案使得每个盒子不为空。
  如果将n=53,m=45带入计算，可以算出 P(53,45)=1.43×10−12 ，也就是说全世界人都来参加活动也不太可能出现集齐卡片的人

• 集齐所有m卡片的期望抽卡次数
  

  Em=m⋅∑i=1m1i=m⋅Hm
  
  这个问题叫coupon collector problem，令 Ti 表示收集到了 i−1 种卡片之后收集到第 i 种消息所需要的次数, Ti 满足 pi=m−i+1m 的几何分布,因此
  
  Em=∑i=1mE(Ti)=∑i=1mmm−i+1=m⋅∑i=1m1i

第二类斯特林数

n个不同的小球放入m个相同的盒子里（n>=m），不允许有空盒，方案数记为S(n,m)

S(n,m)=1m!∑i=0m(−1)i⋅Cim(m−i)n

证明：
将n个不同的小球放入m个不同的盒子里，允许有空盒的总方案数为 mn ，令 Ai 表示集合盒子 i 为空的方案则有

|Ai|=(m−1)n

∑1⩽i<j⩽m|Ai∩Aj|=C2m(m−2)n

∑1⩽i1<i2<...ik⩽m|Ai1∩Ai2...∩Aik|=Ckm(m−k)n

根据容斥原理

|A1∪A2∪...Am|=∑k=1m(−1)k−1∑1⩽i1<i2<...ik⩽m|Ai1∩Ai2...∩Aik|=∑k=1m(−1)k−1Ckm(m−k)n

没有空盒的方案数为

|A1¯∪A2¯∪...An¯|=mn−|A1∪A2∪...Am|=∑k=0m(−1)k⋅Ckm(m−k)n

如果盒子相同，则需要除以盒子的排列数 m!

容斥原理

|A1∪A2∪...An|=∑i=1n|Ai|−∑1⩽i<j⩽n|Ai∩Aj|+∑1⩽i<j<k⩽n|Ai∩Aj∩Ak|...(−1)n−1∑|A1∩A2...An|

或写做

|A1∪A2∪...An|=∑k=1n(−1)k−1∑1⩽i1<i2<...ik⩽n|Ai1∩Ai2...∩Aik|

代码

• 计算代码（matlab） 计算不同抽卡次数和集齐卡片概率P

clear;
N=53:400;
M=45;
s=zeros(1,M+1);
p=zeros(1,length(N))
for j=N
    for i=0:M
        s(i+1)=((-1)^i) * nchoosek(M,i) * ((1-i/M)^j);
    end
    p(j-N(1)+1)=sum(s);
end
E=M*sum(1./(1:M));
plot(N,p);
xlabel('N')
ylabel('P')
title('M=45')

• 验证代码（matlab）
  仿真100000人参加活动，得到收集卡片数量的分布

clear;
T=100000;                        %仿真人数
M=45;                           %卡片数目
N=53;                           %抽卡次数
randData=randi([1,M],T,N);      %仿真原始数据
collectionNum=zeros(T,1);       %每个人收集的数量
for i=1:T
    collectionNum(i)=numel(unique(randData(i,:)));
end
result=tabulate(collectionNum);
histogram(collectionNum)