Coursera离散数学概论笔记（六）： 集合论之特殊关系及函数
本文目录
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- 1 等价关系
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- 1.1 等价关系（equivalent relation）定义
- 1.2 等价类（equivalent class）
- 1.3 等价类性质
- 1.4 等价类定理
- 2 等价关系与划分
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- 2.1 划分（partitions）的定义
- 2.2 等价关系与划分
- 3 划分之间的关系
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- 3.1 划分的“粗细”
- 3.2 划分的“细于”和等价关系的“子集”的联系
- 4 划分运算
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- 4.1 积划分运算
- 4.2 和划分运算
- 4.3 商集（quotient sets）
- 5 序关系
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- 5.1 序关系（ordered relation）定义
- 5.2 哈斯图（Hasse graph）
- 6 序关系中特殊元素
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- 6.1 最大（小）元和极大（小）元
- 6.1 上（下）界和上（下）确界
- 6.3 链和反链
- 6.4 半序关系（Partiall ordered relation）
- 7 函数
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- 7.1 函数（function）定义
- 7.2 函数特殊表示法
- 7.3 函数的规定方法
- 7.4 函数的相等和包含
- 7.5 函数的个数
- 7.6 映像（image）
- 8 函数合成
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- 8.1 函数合成的定义
- 8.2 函数合成运算的性质
- 9 特殊函数类
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- 9.1 单射函数（injection）
- 9.2 满射函数（surjection）
- 9.3 双射函数（bijection）
- 9.4 逆函数（inverse function）
1 等价关系
1.1 等价关系（equivalent relation）定义
等价关系 R 定义为：A 上的自反、对称、传递的二元关系，即符合： x R x , x R y → y R x , x R y ⋀ y R z → x R z xRx,xRy\rightarrow yRx,xRy \bigwedge yRz\rightarrow xRz xRx,xRy→yRx,xRy⋀yRz→xRz 。
举几个例子：
三角形的相似、全等关系
学生的舍友关系
人的亲戚关系
整数集上的“模 k 相等”关系
1.2 等价类（equivalent class）
设 R 为 A 上的等价关系，对于每个 a ∈ A a \in A a∈A，a 的等价类记作 [ a ] R [a]_R [a]R （简记为 $ [a] $ ），定义为： [ a ] R = { x ∣ x ∈ A ⋀ x R a } [a]_R = \{x|x \in A \bigwedge xRa\} [a]R={ x∣x∈A⋀xRa} 。
a 称作 [ a ] R [a]_R [a]R 的代表元素。
等价类是 A 的子集，每个代表元素确定一个等价类，但等价类的代表元素不是唯一的。
举几个等价类的例子：
“模 2 相等”有 2 个等价类：[0] 和 [1]
相等关系 E A E_A EA 有 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 个不同的等价类，每个等价类都是单元素集合
全关系 A × A A \times A A×A 只有一个等价类 A A A
1.3 等价类性质
- A 上任何一个等价关系 R ，任何一个元素 a ，等价类 [ a ] R [a]_R [a]R 都不会是空集，因为总有 a R a aRa aRa （等价关系的自反性）。
- 同一个等价类可能有不同的代表元素，或者说，不同的元素可能有相同的等价类。
1.4 等价类定理
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R 是 A 上的等价关系，则任意 a , b ∈ A a,b \in A a,b∈A ， a R b aRb aRb 当且仅当 [ a ] R = [ b ] R [a]_R=[b]_R [a]R=[b]R 。
证明如下：
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R 是 A 上的等价关系，则任意 a , b ∈ A a,b \in A a,b∈A ，要么 [ a ] = [ b ] [a]=[b] [a]=[b] ，要么 [ a ] ∩ [ b ] = ∅ [a] \cap [b] = \empty [a]∩[b]=∅ 。
证明如下：
2 等价关系与划分
2.1 划分（partitions）的定义
划分是满足下列条件的集合 A 的子集构成的集合族，一般用 π \pi π 来表示：
- ∀ B ( b ∈ π → ≠ ∅ ) \forall B(b \in \pi \rightarrow \neq \emptyset) ∀B(b∈π→=∅) （不空）
- ∪ π = A \cup \pi = A ∪π=A （不漏）
- ∀ B ∀ B ′ ( B ∈ π ⋀ B ′ ∈ π ⋀ B ≠ B ′ → B ∩ B ′ = ∅ ) \forall B \forall B'(B \in \pi \bigwedge B' \in \pi \bigwedge B \neq B' \rightarrow B \cap B' = \empty) ∀B∀B′(B∈π⋀B′∈π⋀B=B′→B∩B′=∅) （不交）
π \pi π 中的元素称为划分的单元，特别约定 A = ∅ A = \empty A=∅ 时只有划分 ∅ \empty ∅ 。
2.2 等价关系与划分
A 上的等价关系 R 的所有等价类的集合即构成了 A 的一个划分，称作等价关系 R 对应的划分： { [ x ] R ∣ x ∈ A } \{[x]_R | x \in A\} { [x]R∣x∈A} 。
反过来，集合 A 的一个划分 π \pi π ，也对应 A 上的一等价关系 R ，称作划分 π \pi π 对应的等价关系： R = { < x , y > ∣ ∃ B ( B ∈ π ⋀ x ∈ B ⋀ y ∈ B ) } R = \{
有以下定理：对应 π \pi π 的等价关系为 R ，当且仅当 R 对应的划分为 π \pi π ，即等价关系和划分一一对应。
证明如下：
3 划分之间的关系
3.1 划分的“粗细”
如果 π 1 \pi_1 π1 的每一个单元都包含于 π 2 \pi_2 π2 的某个单元，称 π 1 \pi_1 π1 细于 π 2 \pi_2 π2 ，表示为 π 1 ≤ π 2 \pi_1 \leq \pi_2 π1≤π2 。
如果 π 1 ≤ π 2 \pi_1 \leq \pi_2 π1≤π2 且 π 1 ≠ π 2 \pi_1 \neq \pi_2 π1=π2 ，则表示为 π 1 < π 2 \pi_1 < \pi_2 π1<π2 ，称作 “真细于” 。
将集合比作蛋糕的话，更细的划分可以理解为在更粗的划分上再切几刀：
3.2 划分的“细于”和等价关系的“子集”的联系
定理： π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π1,π2 分别是等价关系 R 1 , R 2 R_1,R_2 R1,R2 对应的划分，那么 R 1 ⊆ R 2 ↔ π 1 ≤ π 2 R_1 \subseteq R_2 \leftrightarrow \pi_1 \leq \pi_2 R1⊆R2↔π1≤π2 。
证明如下：
定理说明，越“小”（包含二元组较少）的等价关系对应越细的划分。说明两个特殊的等价关系：
- 最小的等价关系是相等关系 E A E_A EA ，对应最细的划分（每个单元仅含一个元素）。
- 最大的等价关系是全关系，对应最粗的划分（仅有一个单元）。
4 划分运算
4.1 积划分运算
划分 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2 的积划分 π 1 ⋅ π 2 \pi_1 \cdot \pi_2 π1⋅π2 是满足如下条件的划分：
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π 1 ⋅ π 2 \pi_1 \cdot \pi_2 π1⋅π2 细于 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2
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如果某个划分 π \pi π 细于 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2 ，则 π \pi π 一定细于 π 1 ⋅ π 2 \pi_1 \cdot \pi_2 π1⋅π2 （也就是说， π 1 ⋅ π 2 \pi_1 \cdot \pi_2 π1⋅π2 是细于 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2 的最粗划分）
积划分运算对应的示意图如下所示：
积划分运算对应等价关系交运算： R 1 R_1 R1 和 R 2 R_2 R2 分别是 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2 对应的等价关系，则 π 1 ⋅ π 2 \pi_1 \cdot \pi_2 π1⋅π2 是等价关系 R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1∩R2 对应的划分。
其证明如下：
4.2 和划分运算
划分 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2 的和划分 π 1 + π 2 \pi_1 + \pi_2 π1+π2 是满足如下条件的划分：
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π 1 + π 2 \pi_1 + \pi_2 π1+π2 细于 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2
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如果有某个划分 π \pi π ， π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2 均细于 π \pi π，则 π 1 ⋅ π 2 \pi_1 \cdot \pi_2 π1⋅π2 一定细于 π \pi π（也就是说， π 1 ⋅ π 2 \pi_1 \cdot \pi_2 π1⋅π2 是细于 π 1 \pi_1 π1 和 π 2 \pi_2 π2 的最粗划分）
和划分运算对应的示意图如下所示：
和划分运算不对应等价关系交运算：等价关系中的传递性质对于并运算不封闭。
我们可以针对传递性质扩展并运算结果，定义一个二元关系 R R R 的传递关系闭包 t ( R ) t(R) t(R) ，定义如下：
- t ( R ) t(R) t(R) 是传递的， R ⊆ t ( R ) R \subseteq t(R) R⊆t(R)
- 对于 A 上的任意一个具有传递性质且包含 R R R 的关系 R ’ R’ R’ ， t ( R ) ⊆ R ′ t(R) \subseteq R' t(R)⊆R′
则和划分对于于等价关系并运算结果的传递闭包。
4.3 商集（quotient sets）
R 是 A 上的等价关系，称 A 的划分 { [ a ] R ∣ a ∈ A } \{[a]_R | a \in A \} { [a]R∣a∈A} 为 A 的 R 商集，记作 A / R A / R A/R 。
每一个划分 π \pi π 均为 A 上的一个商集，相应的商集的和、积对于划分的和与积，有以下关系式：
- A / ( R 1 ∩ R 2 ) = A / R 1 ⋅ A / R 2 A / (R_1 \cap R_2) = A /R_1 \cdot A / R_2 A/(R1∩R2)=A/R1⋅A/R2
- A / ( R 1 ∪ R 2 ) = A / R 1 + A / R 2 A / (R_1 \cup R_2) = A /R_1 + A / R_2 A/(R1∪R2)=A/R1+A/R2
5 序关系
5.1 序关系（ordered relation）定义
序关系 R 定义为：A 上的自反、反对称、传递的二元关系，即符合： x R x , x R y ⋀ y R x → x = y , x R y ⋀ y R z → x R z xRx,xRy \bigwedge yRx \rightarrow x = y,xRy \bigwedge yRz\rightarrow xRz xRx,xRy⋀yRx→x=y,xRy⋀yRz→xRz 。
我们可以将 A 和定义在其上面的序关系 R 结合起来称作有序集（order set），用二元有序组 < A , R >
举几个序关系的例子：
设 a , b ∈ A a,b \in A a,b∈A ，则有以下说法：
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如果 a ≤ b a \leq b a≤b ，称 a 先于或等于 b（或 a 小于或等于 b ）。
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如果 ¬ ( a ≤ b ) ¬ (a \leq b) ¬(a≤b) ，则称 a , b a,b a,b 不可比较或者不可排序。
5.2 哈斯图（Hasse graph）
6 序关系中特殊元素
6.1 最大（小）元和极大（小）元
设 < A , ≤ >
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B 的最小元 b ： b ∈ B ⋀ ∀ x ( x ∈ B → b ≤ x ) b \in B \bigwedge \forall x(x \in B \rightarrow b \leq x) b∈B⋀∀x(x∈B→b≤x)
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B 的最大元 b ： b ∈ B ⋀ ∀ x ( x ∈ B → x ≤ b ) b \in B \bigwedge \forall x(x \in B \rightarrow x \leq b) b∈B⋀∀x(x∈B→x≤b)
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B 的极小元 b ： b ∈ B ⋀ ¬ ∃ x ( x ∈ B ⋀ x ≠ b ⋀ x ≤ b ) b \in B \bigwedge ¬\exists x(x \in B \bigwedge x \neq b \bigwedge x \leq b) b∈B⋀¬∃x(x∈B⋀x=b⋀x≤b)
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B 的极大元 b ： b ∈ B ⋀ ¬ ∃ x ( x ∈ B ⋀ x ≠ b ⋀ b ≤ x ) b \in B \bigwedge ¬\exists x(x \in B \bigwedge x \neq b \bigwedge b \leq x) b∈B⋀¬∃x(x∈B⋀x=b⋀b≤x)
极大和最大的差别在于 B 中是否包含不可比较的元素。
举例：
关于最大（小）元和极大（小）元的定理：
- B 的最大（小）元必为 B 的极大（小）元。
- 如果 b 是有限集，则 b 的极大（小）元恒存在。
- 最大（小）元未必存在，存在则唯一。
- 极大（小）元对有限集必然存在，未必唯一。
- 不包含不可比较的元素的有序集必然有最大（小）元。
- 存在最大（小）元的有限有序集。其极大元就等于最大（小）元。
6.1 上（下）界和上（下）确界
设 < A , ≤ >
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B 的上界 a ： a ∈ A ⋀ ∀ x ( x ∈ B → x ≤ a ) a \in A \bigwedge \forall x(x \in B \rightarrow x \leq a) a∈A⋀∀x(x∈B→x≤a) （与 B 内元素都可比较的）
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B 的下界 a ： a ∈ A ⋀ ∀ x ( x ∈ B → a ≤ x ) a \in A \bigwedge \forall x(x \in B \rightarrow a \leq x) a∈A⋀∀x(x∈B→a≤x) （与 B 内元素都可比较的）
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B 的上确界 a ：a 是 B 的所有上界的集合的最小元。
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B 的下确界 a ：a 是 B 的所有上界的集合的最大元。
举例：
关于上（下）界和上（下）确界的定理：
- 如果 b 是 B 的最大（小）元，则 b 是 B 是上（下）确界。
- 如果 b 是 B 的上（下）界，而且 b ∈ B b \in B b∈B ，则 b 一定是 B 的最大（小）元。
- 如果 B 有上（下）确界，则上（下）确界是唯一的。
- 上（下）界未必存在，存在时也未必唯一。
- 有了上（下）界，也未必存在上（下）确界。
6.3 链和反链
链（chain）：子集 B 中的任意两个元素都是可以比较的。即符合： ∀ x ∀ y ( x , y ∈ B → x ≤ y ⋁ y ≤ x ) \forall x \forall y (x,y \in B \rightarrow x \leq y \bigvee y \leq x) ∀x∀y(x,y∈B→x≤y⋁y≤x)
反链（anti-chain）：子集 B 中的任意两个元素都是不可比较的。即符合： ∀ x ∀ y ( x , y ∈ B → ¬ ( x ≤ y ) ⋁ ¬ ( y ≤ x ) ) \forall x \forall y (x,y \in B \rightarrow ¬(x \leq y) \bigvee ¬(y \leq x)) ∀x∀y(x,y∈B→¬(x≤y)⋁¬(y≤x))
∣ B ∣ |B| ∣B∣ 称作是链或者反链的长度。
关于链和反链的定理：设 < A , ≤ >
6.4 半序关系（Partiall ordered relation）
半序关系 R 定义为：A 上的反自反、反对称、传递的二元关系，即符合： ¬ ( x R x ) , x R y ⋀ y R x → x = y , x R y ⋀ y R z → x R z ¬(xRx),xRy \bigwedge yRx \rightarrow x = y,xRy \bigwedge yRz\rightarrow xRz ¬(xRx),xRy⋀yRx→x=y,xRy⋀yRz→xRz 。
将 < A , R >
实数集合上的“大于”关系
公司内部职员的“下属”关系
7 函数
7.1 函数（function）定义
在集合论中，我们将函数看作是一种特殊的关系，具体定义如下：
如果 X X X 到 Y Y Y 的二元关系 f ⊆ X × Y f \subseteq X \times Y f⊆X×Y ，对于每个 x ∈ Y x \in Y x∈Y ，都有唯一的 y ∈ Y y \in Y y∈Y ，使得 < x , y > ∈ f
当 X = X 1 × . . . × X n X = X_1 \times ... \times X_n X=X1×...×Xn 时，称 f f f 为 n 元函数。
函数也称作映射（mapping） 或变换（transformation），也是一种特殊的关系，其具有以下性质：
- 前域和定义域重合
- 单值性： < x , y > ∈ f ⋀ < x , y ′ > ∈ f → y = y ′
举几个函数的例子：
7.2 函数特殊表示法
由于函数的单值性，我们可以把函数表示为： y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) ，称 x x x 为自变元， y y y 为函数在 x x x 处的值。从映射的角度来看，称 y y y 为 x x x 的像点， x x x 为 y y y 的源点。
不满足单值性的关系不适合这种表示法。
7.3 函数的规定方法
- 列表法：将函数包含的所有序偶排成一个表
- 图表法：用平面直角坐标系上的点集合表示函数
- 解析法：采用算术表达式或者其他命名式表示函数
- 归纳定义：作为关系和集合，函数也可以采用归纳定义的方法来进行定义（分为函数初值定义和函数调用自身部分的定义）
7.4 函数的相等和包含
设 f : A → B f:A \rightarrow B f:A→B ， g : C → D g:C \rightarrow D g:C→D，
如果 A = C , B = D A = C,B = D A=C,B=D ，且对每个 x ∈ A x \in A x∈A ，都有： f ( x ) = g ( x ) f(x) = g(x) f(x)=g(x) ，则函数 f f f 等于 g g g ，记作 f = g f = g f=g 。
如果 A ⊆ C , B = D A \subseteq C,B = D A⊆C,B=D ，且对每个 x ∈ A x \in A x∈A ，都有： f ( x ) = g ( x ) f(x) = g(x) f(x)=g(x) ，则函数 f f f 包含于 g g g ，记作 f ⊆ g f \subseteq g f⊆g 。
7.5 函数的个数
如果 ∣ X ∣ = m |X| = m ∣X∣=m ， ∣ Y ∣ = n |Y| = n ∣Y∣=n ，则 { f ∣ f : X → Y } \{f|f:X \rightarrow Y\} { f∣f:X→Y} 的基数为 n m n^m nm ，即共有 n m n^m nm 个 X X X 到 Y Y Y 的函数。
从 X X X 到 Y Y Y 的全体函数构成的集合表示为 Y X Y^X YX ，形式同基数的表达形式类似。
7.6 映像（image）
设 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y ， A ⊆ X A \subseteq X A⊆X ，将 f ′ ( A ) f'(A) f′(A) 称作 A A A 的映像，定义为： f ′ ( A ) = { y ∣ ∃ x ( x ∈ A ⋀ y = f ( x ) ) } f'(A) = \{y | \exists x(x \in A \bigwedge y = f(x))\} f′(A)={ y∣∃x(x∈A⋀y=f(x))} 。
由此可见，映像 f ′ f' f′ 是 ρ ( X ) \rho(X) ρ(X) 到 ρ ( Y ) \rho(Y) ρ(Y) 的函数。
举一些特殊的映像例子：
- f ’ ( ∅ ) = ∅ f’(\empty)=\empty f’(∅)=∅
- f ’ ( X ) = R a n ( f ) f’(X) = Ran(f) f’(X)=Ran(f) （函数的值域）
- f ′ ( { x } ) = { f ( X ) } ( x ∈ A ) f'(\{x\}) = \{f(X)\}(x \in A) f′({ x})={ f(X)}(x∈A)
映像还具有一些特性：
设 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y ，对任意 A ⊆ X , B ⊆ X A \subseteq X,B \subseteq X A⊆X,B⊆X ，有：
- f ′ ( A ∪ B ) = f ′ ( A ) ∪ f ′ ( B ) f'(A \cup B) = f'(A) \cup f'(B) f′(A∪B)=f′(A)∪f′(B)
- f ′ ( A ∩ B ) ⊆ f ′ ( A ) ∩ f ′ ( B ) f'(A \cap B) \subseteq f'(A) \cap f'(B) f′(A∩B)⊆f′(A)∩f′(B)
- f ′ ( A ) − f ′ ( B ) ⊆ f ′ ( A − B ) f'(A) - f'(B)\subseteq f'(A - B) f′(A)−f′(B)⊆f′(A−B)
8 函数合成
8.1 函数合成的定义
设 f : X → Y , g : Y → Z f:X \rightarrow Y, g:Y \rightarrow Z f:X→Y,g:Y→Z ，那么关系的合成 f ∘ g f \circ g f∘g 是一个 X X X 到 Z Z Z 的函数。
证明如下：
习惯上把 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 的合成记作 g ( f ( x ) ) g(f(x)) g(f(x)) ，所以函数的合成按照关系合成的相反顺序记作 g ∘ f g \circ f g∘f 。
8.2 函数合成运算的性质
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函数合成满足结合律，不满足交换律。
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函数 f f f 的 n 次合成： f n f^n fn
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f ∘ E x = E y ∘ f = f f \circ E_x = E_y \circ f = f f∘Ex=Ey∘f=f
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若 f 2 = f f^2 = f f2=f ，则 f f f 称作等幂函数。
9 特殊函数类
9.1 单射函数（injection）
如果任意 x 1 ≠ x 2 x_1 \neq x_2 x1=x2，且有 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f(x_1) \neq f(x_2) f(x1)=f(x2) ，则称 f f f 为单射函数，也称作一对一函数。
有关单射函数的合成具有以下性质：
- 如果 f f f 和 g g g 都是单射函数，则其合成 g ∘ f g \circ f g∘f 也是单射函数。
- 如果 g ∘ f g \circ f g∘f 是单射函数，则 f f f 一定是单射函数。
9.2 满射函数（surjection）
如果任意 y y y 都有 x x x 使得 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) ，即 f f f 的值域等于 Y Y Y ，则称 f f f 为满射函数，也称作“映上的”函数。
有关单射函数的合成具有以下性质：
- 如果 f f f 和 g g g 都是满射函数，则其合成 g ∘ f g \circ f g∘f 也是满射函数。
- 如果 g ∘ f g \circ f g∘f 是满射函数，则 g g g 一定是满射函数。
9.3 双射函数（bijection）
如果 f f f 既是单射函数又是满射函数，则其称作双射函数，也称作”一一对应“。
有关双射函数的合成具有以下性质：
- 如果 f f f 和 g g g 都是双射函数，则其合成 g ∘ f g \circ f g∘f 也是双射函数。
- 如果 g ∘ f g \circ f g∘f 是双射函数，则 f f f 一定是单射函数， g g g 一定是满射函数。
9.4 逆函数（inverse function）
如果 f f f 不是单射，则 f ∼ f\sim f∼ 无法满足单值性，如果 f f f 不是满射，则 D o m ( f ∼ ) ≠ Y Dom(f \sim) \neq Y Dom(f∼)=Y ，所以只有双射函数存在逆函数。
双射函数 f f f 的逆函数记作 f − 1 f^{-1} f−1 ，也是双射函数，称 f f f 是可逆的。
对于非双射函数，也存在类似逆函数的对应函数：
- 如果 g ∘ f = E x g \circ f = E_x g∘f=Ex ，则称 g g g 为 f f f 的左逆函数（left inverse）。 f f f 有左逆函数当且仅当 f f f 是单射函数。
- 如果 f ∘ g = E y f \circ g = E_y f∘g=Ey ，则称 g g g 为 f f f 的右逆函数（right inverse）。 f f f 有右逆函数当且仅当 f f f 是满射函数。
f f f 可逆当且仅当 f f f 既有左逆函数，又有右逆函数，而且左逆函数和右逆函数相等。
逆函数具有以下性质：
- ( f − 1 ) − 1 = f (f^{-1})^{-1} = f (f−1)−1=f
- f − 1 ∘ f = E X f^{-1} \circ f = E_X f−1∘f=EX
- f ∘ f − 1 = E Y f \circ f^{-1} = E_Y f∘f−1=EY
- ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 (g \circ f) ^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} (g∘f)−1=f−1∘g−1