矩阵分析——线性空间和线性映射（一）
矩阵分析——线性空间和线性映射(一)
哈工大严老师矩阵分析笔记
线性空间定义：给定非空集合
和域
，若存在映射
：
（从V和V自己的卡氏集到V的映射 任取V1和V2就可以算出一个值且算出的这个值还在V中）
则称
为
）
及映射
：
则称V和F之间的数乘法，记为
。
且这两种运算满足通常的运算法则，则称V关于此加法和数乘法是域F上的线性空间 (我们直觉上认为这是个集合，但是为啥叫空间呢，只是习惯这样叫而已，没有其他意思)
以上定义可理解为：在V中任取两个元素就可以得到第三个元素，且第三个元素还在V中，算出来这个第三个元素就叫前两个元素的加法。
解释：“域”：有加减乘除的四种运算系统。在这个域中的所有数经过这四种运算还在这个域中。
例：
就不是一个域，因为1-2，2/3等都不在
中。
也不是域，因为不满足除法。
Q={有理数}，满足四种运算，所以称为有理数域。
R={有理数，无理数}满足四种运算，所以称为实数域。还有符号C称为复数域。
“
”：不是数于数之间的乘法，表示集合之间的乘法。称为卡（笛卡尔）氏集。参与运算的不是数是集合。两个集合可以一样也可以不一样。
在集合S1中取出一个元素s1,在集合S2中取出一个元素s2，构成一个有序对[s1,s2],所有有序对的集合称为集合S1于S2的卡氏集。例如集合S1有5个元素，集合 S2有6个元素它俩构成的卡氏集有30个元素。
解析几何是常量数学过渡到变量数学的伟大的一步，这个观念是笛卡尔提出的，笛卡尔的核心是建立坐标系，一个横轴一个竖轴把平面的点进行定位，认识到了平面和直线的关系，也就是说他揭示了平面的几何结构，平面可以看作是直线的卡氏集，即平面可以用两个数来定位。虽然在我们现在看来非常稀疏平常。但在当时是非常伟大的一步。
“
”：表示映射，前后连接的是两个集合，例如：
表示
是集合A到集合B的映射。
“
”：也表示映射，前后连接的是集合中的元素，例如：
是上述集合A中的元素a经过映射变为集合B中的元素b。
例：
这个函数可以写作 
![\left ( -\infty +\infty \right ) \rightarrow [-1,+1]](http://img.e-com-net.com/image/info8/20e71e6a9183447684d0577454bf214e.gif){kind=small}
“通常的运算法则”：加法:
交换律：
结合律：
存在零元：存在
，满足
有负元：对任意
,存在
,使
,记
数乘法：
分配律：
(第一个+号是数域F中的加法，第二个+号是V中的加法)
于F中乘法关系
与F中1的关系：
“数乘法的数为什么写在右边”：
1*1 3*1 3*1 1*1 写在右面可以把数看作矩阵运算可以把数乘法理解成矩阵乘法
若数乘法的向量为列向量，数乘法的数写在右侧。若数乘法的向量为行向量，数乘法的数写在左侧。好处在于可以把数乘法和矩阵乘法看作同 一个数来对待。（后面的许多矩阵中的技巧都源于这个规定）
例1（F上的标准线性空间
）
V表示n个集合的卡式集，从这n个集合F中每个集合取一个元素构成的所有N元组的集合。
验证集合V满足加法和数乘法的8条性质即为线性空间。从一个数域出发可以造一个标准的线性空间
例2 几何空间作为线性空间（怎么用线性空间的角度来看几何空间）
V={空间又向线段的全体} F=实数域R
加法：平行四边形法则 数乘法：同向或反向伸缩 满足八条运算规则，把几乎空间里面的所有的几何性质都翻译成了代数运算系统
当两条有向线段经过平移能够重叠，则把这两条线段算成一条线段。
平行四边形法则：把两条又向线段的起点移到同一个点，以这两条线段为临边做出一个平行四边形，则这个平行四边形的对角线，就称为平行四边形法则。
例3 函数空间（
）
加法对应分量相加 数乘法对应分量相乘
I=[0,1],[1/2,3].........等表示函数的定义域。是n元数组构成的集合 I是定义域，是取值空间 V表示从I到的所有函数的集合
比如
则
函数空间中的元素以0，1区间为定义域，具有两个分量的二维向量值函数，把这些元素作为一个元素，则所有这些函数的集合就称为函数空间。