FFT学习笔记

多项式的系数表示法：$A(x)={\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$

多项式的点值表示法：将n个不同的数代入多项式$A(x)$，可以得到$n$个值，这$n$个值对应确定一个$n-1$次的多项式。

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两个用系数表示的多项式$A(x)$和$B(x)$，要把它们相乘得到$C(x)$。

如果直接把系数乘起来得到$C(x)$的系数的话，时间复杂度为$O(n^2)$。

但是对于点值表示法，$C(x_i)=A(x_i)B(x_i)$，可以$O(n)$的求出。

所以考虑取$n$个不同的数分别代入$A,B$中，得到$A,B$的点值表示，然后求出$C$的点值表示，再转化成$C$的系数表示。

所以我们需要一种方法支持快速的转化点值表示法和系数表示法。

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对于一个$n-1$次的多项式$A(x)$，分别把${\omega }_n^0,{\omega }_n^1...{\omega }_n^{n-1}$作为$x$代入，得到$A(x)$的点值表示$(y_0,y_1...y_{n-1})$，称为$A(x)$的离散傅里叶变换。

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系数–>点值

把n个值代入多项式求答案，暴力复杂度是$O(n^2)$的。

用分治FFT求离散傅里叶变换只要$O(nlogn)$

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点值–>系数

把A(x)的离散傅里叶变换，即$(y_0,y_1...y_{n-1})$作为系数得到多项式$B(x)=y_0+y_{1}x...+y_{n-1}{x}^{n-1}$

再把上面的n个单位根的倒数，即${\omega }_n^0,{\omega }_n^{-1}...{\omega }_n^{-(n-1)}$作为x代入，得到$B(x)$的点值表示$(z_0,z_1...z_{n-1})$，可以证明，$z_k=n{a}_k$;

这有什么用呢？

当我们知道$A(x)$的离散傅里叶变换，但不知$A(x)$的系数时，我们可以通过这种方法的到$A(x)$的系数表示法。实现了点值–>系数的转换.

并且这里求的都是某一个多项式的离散傅里叶变换，所以可以用分治FFT提高效率。