初识微积分一

from IPython.core.interactiveshell import InteractiveShell
InteractiveShell.ast_node_interactivity = "last_expr"
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

变化率

对于函数 $y=f(x)$ 定义变化率为：

$$roc=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

代入函数曲线上的两点，可以计算 $m$ ：

$$roc=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

例如 $f(x)=x^2+x$

def f(x):
    return (x)**2 + x

x = np.array(range(0, 11))
y = np.array([0,10])

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()

plt.plot(x, f(x), color='g')
plt.plot(y, f(y), color='m')

plt.show()

极限

例：
$$li{m}_{x\to 5}f(x)$$

%matplotlib widget
x = [*range(0,5), *np.arange(4.25, 6, 0.25), *range(6, 11)]
y = [f(i) for i in x] 

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid()

plt.plot(x,y, color='lightgrey', marker='o', markeredgecolor='green', markerfacecolor='green')
plt.plot(5, f(5), color='red', marker='o', markersize=10)
plt.plot(5.25, f(5.25), color='blue', marker='<', markersize=10)
plt.plot(4.75, f(4.75), color='orange', marker='>', markersize=10)
plt.show()

FigureCanvasNbAgg()

连续性

对函数 $g(x)=-(\frac{12}{2x}{)}^2,x\ne 0$ 画出图形

%matplotlib widget
def g(x):
    if x != 0:
        return -(12/(2*x))**2
x = range(-20, 21)
y = [g(a) for a in x]
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('g(x)')
plt.grid()
plt.plot(x,y, color='g')
xy = (0,g(1))
plt.annotate('O',xy, xytext=(-0.7, -37),fontsize=14,color='b')
plt.show()

FigureCanvasNbAgg()

函数 $h(x)=2\sqrt{x},x\ge 0$ 是不连续的。

%matplotlib inline
def h(x):
    if x >= 0:
        import numpy as np
        return 2 * np.sqrt(x)

x = range(-20, 21)
y = [h(a) for a in x]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('h(x)')
plt.grid()

plt.plot(x,y, color='g')
plt.plot(0, h(0), color='g', marker='o', markerfacecolor='g', markersize=10)

plt.show()

函数 $k(x)=\{\begin{array}{ll}x+20,& \text{if }x\le 0,\\ x-100,& \text{otherwise }\end{array}$ 是不连续的。

%matplotlib inline

def k(x):
    import numpy as np
    if x <= 0:
        return x + 20
    else:
        return x - 100

x1 = range(-20, 1)
x2 = range(1, 20)
y1 = [k(i) for i in x1]
y2 = [k(i) for i in x2]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('k(x)')
plt.grid()
plt.plot(x1,y1, color='g')
plt.plot(x2,y2, color='g')
plt.plot(0, k(0), color='g', marker='o', markerfacecolor='g', markersize=10)
plt.plot(0, k(0.0001), color='g', marker='o', markerfacecolor='w', markersize=10)

plt.show()

无穷

对
$$d(x)=\frac{4}{x-25},x\ne 25$$

当 $x\to 25$ 时:

%matplotlib inline

def d(x):
    if x != 25:
        return 4 / (x - 25)

x = [*range(-100, 24), *np.arange(24.9, 25.2, 0.1), *range(26, 101)]
y = [d(i) for i in x]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('d(x)')
plt.grid()

plt.plot(x,y, color='purple')
plt.show()

$$li{m}_{x\to 25^{+}}d(x)=\infty$$

$$li{m}_{x\to 25^{-}}d(x)=-\infty$$

对函数 $e(x)=\{\begin{array}{ll}5,& \text{if }x=0,\\ 1+x^2,& \text{otherwise }\end{array}$ 求 $x\to 0$ 时的极限：

$$\underset{x\to 0}{\lim }a(x)\ne a(0)$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }a(x)=1$$

%matplotlib inline

def e(x):
    if x == 0:
        return 5
    else:
        return 1 + x**2

x= [-1, -0.5, -0.2, -0.1, -0.01, 0.01, 0.1, 0.2, 0.5, 1]
y =[e(i) for i in x]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('e(x)')
plt.grid()

plt.plot(x, y, color='m')
plt.scatter(0, e(0), color='m')
plt.plot(0, 1, color='m', marker='o', markerfacecolor='w', markersize=10)
plt.show()

对函数

$$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1},x\ne 1$$

求 $x\to 1$ 时的极限：

$$li{m}_{x\to a}g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$$

$$li{m}_{x\to a}g(x)=x+1$$

$$li{m}_{x\to 1}g(x)=2$$

类似的，对函数

$$h(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4},x\ne 4\text{ and }x\ge 0$$

求 $x\to 4$ 时的极限:

$$li{m}_{x\to a}h(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$$

$$li{m}_{x\to 4}h(x)=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$$

极限的算术运算

$$li{m}_{x\to a}(j(x)+l(x))=\underset{x\to a}{\lim }j(x)+\underset{x\to a}{\lim }l(x)$$

$$li{m}_{x\to a}(j(x)-l(x))=\underset{x\to a}{\lim }j(x)-\underset{x\to a}{\lim }l(x)$$

$$li{m}_{x\to a}(j(x)\cdot l(x))=\underset{x\to a}{\lim }j(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }l(x)$$

$$li{m}_{x\to a}\frac{j(x)}{l(x)}=\frac{{\lim }_{x\to a}j(x)}{{\lim }_{x\to a}l(x)}$$

$$li{m}_{x\to a}(j(x){)}^n=(\underset{x\to a}{\lim }j(x){)}^n$$