RMQ与LCA入门&&ST算法的运用

RMQ

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题。——百度百科

举个例子:在1 0 4 99 8 5这一串数中求第2个数到第5个数的最小值。

有什么办法?

最简单的莫过于循环一次,时间为O(N).但如果有许多个询问呢?

这时就要用到ST算法了。利用动规预处理出每一段的最值,对于每个询问,只要O(1)的时间便能得出答案。

动规如下:f[i][j]表示从第i个位置开始的2^j个数中的最小值。转移方程如下:

f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])

这样,对于每个查询x,y(x<y)(在第x个位置到第y个位置的最值),答案就是

min(f[x][j],f[y-2^(j)+1][j])(其中j是log2(y-x+1))
∵[x,x+2^j]与[y-2^(j)]都是[x,y]的子区间且[x,x+2^j]U[y-2^(j)]=[x,y]。

至此RMQ问题就解决了,时间复杂度为O(nlogn)+O(1)*q(其中q为询问数量)

当然还有其他的方法这里就不讨论了

LCA

最近公共祖先(Least Common Ancestors)LCA简介:对于有根树T的两个结点u、v,最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x,满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图,而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。——百度百科

求LCA的其中一种算法便是转换成RMQ,利用ST算法求解。具体做法如下: 将这棵树用深度优先遍历,每次遍历一个点(包括回溯)都添加进数组里面。找到所询问的点第一次在其出现的位置,两个位置所夹的点中深度最小的即为所求。

RMQ与LCA入门&&ST算法的运用如图求3与6的LCA。首先利用深度优先遍历得到一个数列:1,2,3,2,4,5,6

找到3第一次出现以及6第一次出现的位置。所夹数列即为3,2,4,5,6。其中深度最小的点就是他们的LCA,也就是2.

 

 

 

 

 

例题

(这里就直接贴代码了,详细题解可见这里

1、hdu2586:

View Code
 1 #include <iostream>

 2 #include <cmath>

 3 #include <algorithm>

 4 using namespace std;

 5 struct node{

 6        int link,dt;

 7        node *next;

 8 }*son[40009],ES[100009];

 9 int n,m,EC,t,f[100009][20],bit[20],lg,

10     fir[40009],enter[100009],dis[40009],deep[40009],lca[100009][20];

11 void addedge(int x,int y,int z)

12 {

13      ES[++EC].next=son[x];

14      son[x]=ES+EC;

15      son[x]->link=y;

16      son[x]->dt=z;

17 }

18 void tr(int fa,int v)

19 {

20      enter[++t]=v;

21      if (!fir[v]) fir[v]=t;

22      for (node *tmp=son[v];tmp;tmp=tmp->next)

23          if (tmp->link!=fa){

24             int u=tmp->link;

25             deep[u]=deep[v]+1;

26             dis[u]=dis[v]+tmp->dt;

27             tr(v,u);

28             enter[++t]=v;

29             }

30 }

31 void dp()

32 {

33      for (int i=1;i<=2*n-1;++i) f[i][0]=deep[enter[i]],lca[i][0]=i;

34      for (int j=1;j<=lg;++j)

35          for (int i=1;i<=2*n-bit[j]+1;++i)

36              if (f[i][j-1]<f[i+bit[j-1]][j-1]) f[i][j]=f[i][j-1],lca[i][j]=lca[i][j-1];

37              else f[i][j]=f[i+bit[j-1]][j-1],lca[i][j]=lca[i+bit[j-1]][j-1];

38 }

39 int main()

40 {

41 #ifndef ONLINE_JUDGE

42     freopen("hdu2586.in","r",stdin);freopen("hdu2568.out","w",stdout);

43 #endif

44     bit[0]=1;

45     for (int i=1;i<=19;++i) bit[i]=bit[i-1]*2;

46     ios::sync_with_stdio(false);

47     int T;

48     cin>>T;

49     for (int AC=T;AC;--AC){

50         EC=0;

51         t=0;

52         deep[1]=1;

53         memset(f,0,sizeof(f));

54         memset(fir,0,sizeof(fir));

55         memset(son,0,sizeof(son));

56         cin>>n>>m;

57         lg=floor(log2(2*n-1));

58         int x,y,z,k;

59         for (int i=n-1;i;--i){

60             cin>>x>>y>>z;

61             addedge(x,y,z);

62             addedge(y,x,z);

63             }

64         tr(0,1);

65         dp();

66         for (int i=m;i;--i){

67             cin>>x>>y;

68             int ans=dis[x]+dis[y];

69             x=fir[x];y=fir[y];

70             if (x>y) swap(x,y); 

71             lg=floor(log2(y-x+1));

72             if (f[x][lg]<f[y-bit[lg]+1][lg]) k=lca[x][lg];

73             else k=lca[y-bit[lg]+1][lg];

74             cout<<ans-2*dis[enter[k]]<<endl;

75             }

76         }

77 #ifndef ONLINE_JUDGE

78     fclose(stdin);fclose(stdout);

79 #endif

80 }

2、poj3264:

#include <cstdio>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#include <iostream>

using namespace std;

int n,q,h[50009],Fmin[50009][17],Fmax[50009][17],lg,bit[17];

int main()

{

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("lineup.in","r",stdin);freopen("lineup.out","w",stdout);

#endif

    scanf("%d%d",&n,&q);

    bit[0]=1;

    for (int i=1;i<=16;++i) bit[i]=2*bit[i-1];

    for (int i=1;i<=n;++i){

        scanf("%d",&h[i]);

        Fmin[i][0]=Fmax[i][0]=h[i];

        }

    lg=floor(log10((double)n)/log10((double)2));

    for (int j=1;j<=lg;++j)

        for (int i=1;i<=n+1-bit[j];++i){

            Fmin[i][j]=min(Fmin[i][j-1],Fmin[i+bit[j-1]][j-1]);

            Fmax[i][j]=max(Fmax[i][j-1],Fmax[i+bit[j-1]][j-1]);

            }

    int x,y;

    for (int i=1;i<=q;++i){

        scanf("%d%d",&x,&y);

        if (x>y) swap(x,y);

        lg=floor(log10((double)(y-x+1))/log10((double)2));

        printf("%d\n",max(Fmax[x][lg],Fmax[y-bit[lg]+1][lg])-

        min(Fmin[x][lg],Fmin[y-bit[lg]+1][lg]));

        }

#ifndef ONLINE_JUDGE

    fclose(stdin);fclose(stdout);

#endif

}

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