第三章 矩阵分析基础-笔记与总结

第三章 矩阵分析基础

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3.1 矩阵序列与矩阵级数

3.1.1 矩阵序列的极限

对定义3.1的理解——矩阵中的任意一项可取到极限值，则序列A收敛。不收敛的矩阵序列称为发散的。
定理3.1矩阵序列{A_k}${}_k^{\infty }$收敛于矩阵A的充要条件是||A_k-A||收敛于零。
推论3.1${\lim }_{k\to \infty }$A_k=A，则||${\lim }_{k\to \infty }$A_k||=||A||
性质3.1${\lim }_{k\to \infty }$A_k=A，${\lim }_{k\to \infty }$B_k=B，则
$$\underset{k\to \infty }{\lim }{A}_k{B}_k=AB$$
性质3.2 A_k和A均可逆，则
$$\underset{k\to \infty }{\lim }{A}_k^{-1}=A^{-1}$$
例题结论：${\lim }_{k\to \infty }$A_k=0的充分必要条件为ρ（A）<1。
性质3.3定义3.1中的序列的和为矩阵级数，记为$\sum _{k=1}^{\infty }{A}_k$

3.1.2 矩阵级数

对定义3.2 和定义3.3的理解——矩阵前k项部分和记为S_k，若收敛则矩阵级数收敛，矩阵S为矩阵级数的和矩阵，记为S=$\sum _{i=1}^{\infty }{A}_i$。不收敛的矩阵级数称为发散的。
重要公式：$$\sum _{k=0}^{\infty }{A}_k=(I-A{)}^{-1}$$

推论3.2 若||A||<1，则$$\underset{k\to \infty }{\lim }{A}^k=0$$。
对性质3.4的理解—— 矩阵求和中的系数可以提前到求和之前。
定义3.4 任意矩阵的子级数均为绝对收敛，则该矩阵A绝对收敛。
性质3.5 若矩阵级数$$\sum _{k=0}^{\infty }{A}_k$$绝对收敛，则它一定是收敛的，并且任意调换各项的顺序所得到的级数还是收敛的，且级数和不变。
性质3.6 矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数$\sum _{k=0}^{\infty }||A_k||$收敛。
性质3.7 两个绝对收敛的级数A和B，按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛，且和均为AB。
性质3.8 m×n型矩阵级数A收敛，则 p×q矩阵级数$\sum _{k=0}^{\infty }PAQ$也收敛
$$\sum _{k=0}^{\infty }PAQ=P（\sum _{k=0}^{\infty }A）Q$$

3.2 矩阵幂级数

定理3.2 幂级数a_kz^k的收敛半径为r，A为n阶方阵，则
（1）ρ（A） （2）ρ（A）>r，幂级数发散
推论3.3 设${\sum }_0^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$为收敛半径为r的幂级数，A为n阶方阵，如果A的特征值均落在收敛圆内，即$|\lambda -z_0|<r$，其中$\lambda$为A的任意特征值，则矩阵幂级数${\sum }_0^{\infty }{a}_k(A-z_{0}I{)}^k$绝对收敛；若有某个${\lambda }_{i}0$使得$|{\lambda }_{i0}-z_0|>r$，则幂级数${\sum }_0^{\infty }{a}_k(A-z_{0}I{)}^k$发散。
重要公式： ：
$e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$
$co{s}^A=I-\frac{A^2}{2!}+\frac{A^4}{4!}+...$
$si{n}^A=z-A+\frac{A^3}{3!}+\frac{A^5}{5!}+...$
$(I-A{)}^{-1}=I+A+A^2+A^3+...$
$ln(I+A)=A-\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}-...$

引理3.1 设 $f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{z}^k$是收敛半径为r的幂级数，$J_i$是特征值为${\lambda }_i$的n_i阶Jordan块阵，且$|{\lambda }_i|<r$，则
$$f(J_i)=\left(\begin{array}{c}f({\lambda }_i)f^{\prime }({\lambda }_i)...\frac{f^{n_i-1}({\lambda }_i)}{(n_i-1)!}\\ 0f({\lambda }_i)f^{\prime }({\lambda }_i)0\\ 00\dots f^{\prime }({\lambda }_i)\\ 000f({\lambda }_i)\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(3-1)}$$
推论3.4 设 $f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$是收敛半径为r的幂级数，$J_i$是特征值为${\lambda }_i$的n_i阶Jordan块阵，且$|{\lambda }_i-z_0|<r$，则
$$f(J_i)=\left(\begin{array}{c}f({\lambda }_i)f^{\prime }({\lambda }_i)...\frac{f^{n_i-1}({\lambda }_i)}{(n_i-1)!}\\ 0f({\lambda }_i)f^{\prime }({\lambda }_i)0\\ 00\dots f^{\prime }({\lambda }_i)\\ 000f({\lambda }_i)\end{array}\right)$$
推论3.5 设 $f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{z}^k$是收敛半径为r的幂级数，$J_i$是特征值为${\lambda }_i$的n_i阶Jordan块阵，且$|{\lambda }_i|<r$，则
$$f(J_i)=\left(\begin{array}{c}f({\lambda }_i)f^{\prime }({\lambda }_i)...\frac{f^{n_i-1}({\lambda }_i)}{(n_i-1)!}\\ 0f({\lambda }_i)f^{\prime }({\lambda }_i)0\\ 00\dots f^{\prime }({\lambda }_i)\\ 000f({\lambda }_i)\end{array}\right)$$
定理3.3 设 $f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{z}^k$是收敛半径为r的幂级数，A为n阶方阵，$A=TJ{T}^{-1}$为其Jordan分解，$J=diag（J_1,J_2,...,J_s)$。当A的特征值均落在收敛圆内时，即|λ|$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{A}^k$绝对收敛，并且和矩阵为
$$f(A)=Tdiag(f(J_1),f(J_2),...,f(J_s))T^{-1}$$ $f（J_i）$的式子为引理3.1的 $f（J_i）$。

为避免求矩阵A的Jordan分解，用有限待定系数法计算$f(A)$和$f(At)$
有限待定系数法

1. 求矩阵A的特征多项式（3-11）
2. 设$q（\lambda ）=b_{n-1}{\lambda }^{n-1}+...+b_1\lambda +b_0$
   $q^{(j)}（{\lambda }_i）=t^j{f}^{(j)}（\lambda ）{|}_{\lambda ={\lambda }_{i}t}$ (j=0,1,…,m_{i-1};i=1,2,…,s)
   或 $q^{(j)}（{\lambda }_i）=f^{(j)}（\lambda ）{|}_{\lambda ={\lambda }_{i}t}$ (j=0,1,…,m_{i-1};i=1,2,…,s)
   列出线性方程组求解$b_0,b_1,...,b_{n-1}$
3. 计算$f（At）$（当t=1时，$f（A）=q（A）=b_{n-1}{A}^{n-1}+...+b_1(t)A+b_0(t)I$）

常用公式：

1. 任意方阵A，总有
   (1) sin(-A)=sinA
   (2) cos(-A)=cosA
   (3)$e^{iA}=cosA+isinA$
   (4)$cosA=\frac{1}{2}(e^{iA}+e^{-iA})$
   (5)$sinA=\frac{1}{2i}(e^{iA}-e^{-iA})$
2. 任意方阵A和B，且AB=BA
   (1) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
   (2) cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
   (3)$e^A{e}^B=e^B{e}^A=e^{A+B}$
3. 若A=B
   $cos2A=co{s}^{2}A-si{n}^{2}A$
   $sin2A=2sinAcosA$

3.3 矩阵的微积分

3.3.1 相对于数量变量的微分和积分

定义3.5 如果矩阵A（t）的每一个元素均为变量t的微函数，则称A（t）可微，且导数定义为
$$A‘（t）=\frac{d}{dt}A（t）$$
定理3.4 设A（t）、B（t）是可进行运算的两个可微矩阵，则以下的运算规则成立：

• $$\frac{d}{dt}（A（t）+B（t））=\frac{d}{dt}A（t）+\frac{d}{dt}B（t）$$
• $$\frac{d}{dt}（A（t）B（t））=B（t）\frac{d}{dt}A（t）+A（t）\frac{d}{dt}B（t）$$
• $$\frac{d}{dt}（\alpha A（t））=\alpha \frac{d}{dt}A（t）$$
• u=f(t),u可微 $$\frac{d}{dt}A（u）=f^{\prime }（t）\frac{d}{du}A（u）$$
• A^{-1}为可微矩阵时， $$\frac{d}{dt}（A^{-1}（t））=-A^{-1}（t）(\frac{d}{dt}A（t）)A^{-1}（t）$$

定理3.5 设n阶方阵A与t无关，则有

$$\frac{d}{dt}{e}^{tA}=A{e}^{tA}=e^{tA}A$$
$$\frac{d}{dt}si{n}^{tA}=Aco{s}^{tA}=co{s}^{tA}A$$
$$\frac{d}{dt}co{s}^{tA}=-Asi{n}^{tA}=-si{n}^{tA}A$$

定义3.6 矩阵A的每一个元素在区间内可积，则A的积分为每一项积分后的矩阵。
$${\int }_a^b(A(t)+B(t))dt={\int }_a^{b}A(t)dt+{\int }_a^{b}B(t)dt$$
B为常数矩阵$${\int }_a^{b}A(t)Bdt=({\int }_a^{b}A(t)dt)B$$
A为常数矩阵$${\int }_a^{b}AB(t)dt=A{\int }_a^{b}B(t)dt$$

3.3.2 相对于矩阵变量的微分

由定义3.7得出
$$\frac{df}{dx}=Ax+A^{T}x=(A+A^T)x$$

3.3.3 矩阵在微分方程中的应用