字符串、数组和特殊矩（数据结构）

第四章 字符串、数组和特殊矩阵

4.1字符串

• 字符串是由0个或多个字符构成的有限序列。
• 串中所含字符串的个数n称为字符串的长度；当n=0时。字符串为一空串
• 两个字符串相等，当且仅当两个串的长度相等，并且各个对应位置的字符都相等。
• 若S=“ ”，此时s由一个空格字符组成，其长度为1，它不等价于空串，因为空串的长度为0.

字符串是一种特殊的线性表，由于线性表有顺序存储和链式存储两种基本的存储结构，因此字符串也有两种基本的存储结构：顺序串和链式串

4.2字符串的模式匹配

寻找字符串p在字符串t中首次出现的位置称为字符串的匹配模式，其中，称p为模式，t为正文，t的长度远远大于p的长度。

4.2.1朴素的模式匹配算法

基本思想：用p中的每个字符去与t中的字符一一比较，其中，n代表正文t的长度，m为模式p的长度。如果t1=p1，t2=p2，…，tm=pm，则模式匹配成功，此时返回起始位置即可；否则，将p向右移动一个字符串的位置，重新开始比较。（就是一个一个比较，比较不到再找下一个）。

时间复杂度为O（n*m）

算法如下：

int index(seqstring p,seqstring t)
{
     
    int i,j,succ;
    i=0;succ=0   /*用i扫描正文t，succ为匹配成功的标志*/
    while((i<=t.length-p.length)&&(!succ))
    {
     
        j=0;succ=1;    /*用j扫描模式p*/
        while((j<=p.length-1)&&succ)
            if(p.str[j]==t.str[i+j])
                j++;
        	else 
                succ=0;
        i++;
    }
    if(succ)
        return (i-1);
    else
        return (-1);
}

4.2.2快速模式匹配算法（KMP算法）

算法的时间复杂度为O（n+m）

KMP算法基本思想如下：

假设以i和j分别指示正文i和模式p中正待比较的字符，令i、j的初值为0；若在匹配过程中ti=pj，则i与j分别加1；否则i不变，而j退到next的位置继续比较（即j=next【j】）；若相等，则指针各自增加1；否则j再退到下一个next【j】值的位置，以此类推，直至下列两种可能之一出现：

• j退到某个next值时，ti与pj字符比较相等，则i，j指针各自增加1后各自比较
• j退到-1（即模式的第一个字符“失配”），此时需要将正文指针i向右滑动一个位置，即从正文的下一个字符ti+1起和模式p重新从头开始比较。

4.3数组

数组本身也是线性表的推广，数组的每个元素由一个值和一组下标确定，在数组中，对于每组有定义的下标都存在一个与之相对应的值。

• 当把二维数组看作是线性表时，他的每一个结点又是一个向量（一维数组）。
• 对于三维数组，也可以将它看成是一个线性表。当把三维数组看成是线性表结构时，它的每个元素均由一个二维数组构成。例如，对于三维数组A [m][n][l],我们可以把它看成是一个由m个元素构成线性表，线性表的每个元素是一个n*l的矩阵。

数组是一个具有固定数量数据元素的有序集合。由于数组本身的大小是固定的，因而对数组本身不能执行删除和添加操作，通常除了数组初始化和销毁数组的操作外，只有访问数组元素和改变数组元素的值这两种运算。

4.3.3 数组的存储顺序的实现

存储空间中存储单元是一维的结构，故必须约定一个元素的存储次序，以方便将来对数组元组的存取。

主要分为两大类

1. 按行优先存储
2. 按列优先存储

所谓按行优先存储，其基本思想是：从第一行的元素开始按顺序存储，第一行的元素存储完成后，再按顺序存储第2行的元素，然后依次存储第3，…行，直到最后一行所有的元素存储完毕为止。按列存储的基本思想也是一样的。

一个栗子：

对于二维数组A [m] [n] :

假设数组中每一个元素占用L个存储单元，若考虑按行优先存储的方式，则上述A数组中任何一个元素aij的存储位置可以按以下公式确定：

*address（aij）= address（a00）+（i * n+j）L

address（a00）表示数组A的首地址，即第一个元素a00的地址，i*n+j表示在元素aij之前已经存放了完整的前i行中的所有元素以及第i+1行的前j个元素。

若按列优先：则数组中任何一个元素aij存储位置的地址计算公式为：

address（aij）= address（a00）+（j * m+i） * L

4.4特殊矩阵

在数值分析的过程中经常遇到一些特殊的矩阵，他们的阶数很高，同时矩阵中包含许多相同的值或零，如对称矩阵、三角矩阵、带状矩阵和稀疏矩阵等。

压缩存储：多个相同值的结点只分配一个存储空间，值为零的结点不分配内存空间。

4.4.1对称矩阵的压缩存储

如果矩阵的行数和列数相等，则称该矩阵为方阵。若n*n阶的方阵A满足：

aij=aji（0<= i <=n-1,0<=j <=n-1）

则称矩阵A为对称矩阵。

在存储时只需要存储对角线以上或对角线以下的部分，未存储部分的元素可以利用元素之间的对称性来访问。

若采用按行优先的存储方式，则数组A对角线以下部分中任何一个数组元素aij（i>=j）的存储地址为：

1. **address (aij) = address(a00) + [ (1+2+…+i) + j ]L = address(00) + [ i * (i+1)/2 + j ]L ( i>=j )
2. **address (aij) = address(a00) + [ (1+2+…+i) + j ]L = address(00) + [ j * (j+1)/2 + i]L (i

简单来说。就是乘以大的，加上小的。

4.4.2三角矩阵的压缩存储

这类矩阵，其对角线以下（或以上）部分元素值均为0，故称为上三角矩阵（或下三角矩阵）。

1、下三角矩阵

对矩阵A只需存储对角线以下的部分即可。还是按行优先存储。

则A中下三角部分任何一个元素aij（i>=j）压缩存储后的地址计算公式为：

address（aij）=address（a00）+【i * (i+1) /2 +j】 L*

与对称矩阵不同的是，当 i < j 时，aij的值为0 ，其没有对应的存储空间

2、上三角矩阵

矩阵A为n*n的矩阵

采用行优先存储 ，则矩阵A中任意一个元素aij的存储地址为：（i<=j）

*address（aij）=address（a00）+【（n+（n-1）+（n-2）+…+（n-(i-1)））+j-1】L

即address（aij）= address（a00）+【i*n- （i-1) * i/2+j-i】*L

4.4.3带状矩阵的压缩存储

4.5稀疏矩阵

如果一个矩阵中很多元素的值为零，即零元素的个数远远大于非零元素的个数时，称该矩阵为稀疏矩阵。

根据存储时的附加信息不同，稀疏矩阵的顺序存储方法包括：三元组表示法、带辅助行向量的二元组表示法和伪地址表示法，其中三元组表示法最常用。

​ 矩阵B的第一行体现了稀疏矩阵A的行数、列数及所含非零元素的总个数。接下来的每一行均代表A中一个非零元素的三元组表示。

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