Count a * b（欧拉函数，唯一分解定理）

Count a * b

题意：有$t$组输入，每组输入入一个数$n(n\le 10^9)$，求$g(n)={\sum }_{m|n}f(m)$，$f(m)={\sum }_{i=0}^{m-1}{\sum }_{j=0}^{m-1}[i\times j\%m\ne 0]$。

推式子：
$$\begin{gathered} f(m)=\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{j=0}^{m-1}[i\times j\%m\ne 0] \\ =\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m[i\times j\%m\ne 0] \\ =m^2-\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m[i\times j\%m=0] \\ =m^2-\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m[m|i\times j] \\ =m^2-\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m[\frac{m}{gcd(i,m)}|\frac{i}{gcd(i,m)}\times j] \\ =m^2-\sum _{i=1}^m\frac{m}{\frac{m}{gcd(i,m)}} \\ =m^2-\sum _{i=1}^{m}gcd(i,m) \\ =m^2-\sum _{d|m}\sum _{i=1}^m[gcd(i,m)=d] \\ =m^2-\sum _{d|m}d\sum _{i=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,\frac{m}{d})=1] \\ =m^2-\sum _{d|m}d\varphi (\frac{m}{d}) \end{gathered}$$
1.${\sum }_{i=0}^{m-1}{\sum }_{j=0}^{m-1}[i\times j\%m\ne 0]={\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m[i\times j\%m\ne 0]$

当$i=0$和$i=n$的时候，$i\times j\%m=0$,同样$j=0$和$j=1$的时候$i\times j\%m=0$

2.${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m[\frac{m}{gcd(i,m)}|\frac{i}{gcd(i,m)}\times j]={\sum }_{i=1}^m\frac{m}{\frac{m}{gcd(i,m)}}$.

$\frac{m}{gcd(i,m)}$和$\frac{i}{gcd(i,m)}$是互质的，所以${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m[\frac{m}{gcd(i,m)}|\frac{i}{gcd(i,m)}\times j]={\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m[\frac{m}{gcd(i,m)}|j]$，等价于在区间[1,m]中有多少个$\frac{m}{gcd(i,m)}$的倍数，就是$\frac{m}{\frac{m}{gcd(i,m)}}$。

$$\begin{gathered} g(n)=\sum _{m|n}f(m) \\ =\sum _{m|n}{m}^2-\sum _{m|n}\sum _{d|m}d\varphi (\frac{m}{d}) \\ =\sum _{m|n}{m}^2-\sum _{d|n}d\sum _{m|n,d|m}\varphi (\frac{m}{d}) \\ =\sum _{m|n}{m}^2-\sum _{d|n}d\sum _{k|\frac{n}{d}}\varphi (k) \\ =\sum _{m|n}{m}^2-\sum _{d|n}n \end{gathered}$$

1.${\sum }_{m|n}{\sum }_{d|m}d\varphi (\frac{m}{d})={\sum }_{d|n}d{\sum }_{m|n,d|m}\varphi (\frac{m}{d})={\sum }_{d|n}d{\sum }_{k|\frac{n}{d}}\varphi (k)$

我们把d提出去，d是m的因子，m是n的因子，所以d是n的因子。

m是n的因子，d是m的因子，我们从m和n中都提出一个d，就可以得到$\frac{m}{d}$是$\frac{n}{d}$的因子。

思路：

1.考虑暴力：$t\le 20000，n\le 10^9$，枚举全部的因子$O(t\sqrt{n})$复杂度太高。

2.唯一分解定理：$x={\prod }_{i=1}^k{p}_i^{e_i}$。

​ x的因子个数=${\prod }_{i=1}^k(e_i+1)$。

​ x的因子和=${\prod }_{i=1}^k(1+p_i^1+p_i^2...p_i^{e_i})$。

​ x的因子平方和=${\prod }_{i=1}^k(1+p_i^2+p_i^4...p_i^{2e_i})$。

$Code$

#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int N = 1e5+10;
ull p[N], tot;
bool st[N];
//初始化求欧拉函数。
void init() {
     
    for(int i=2; i<N; i++) {
     
        if(!st[i]) p[tot++] = i;
        for(int j=0; j<tot&&i*p[j]<N; j++) {
     
            st[i*p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}
//快速幂
ull qpow(ull x, int y) {
     
    ull ans = 1;
    while(y) {
     
        if(y & 1) ans = ans * x;
        x = x * x;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main() {
     
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    init();
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
     
        //ans表示n的因子平方和，sum表示n的因子个数。
        ull n, m, ans = 1, sum = 1;
        scanf("%llu", &n);
        m = n;
        //分解质因子
        for(int i=0; i<tot&&p[i]*p[i]<=n; i++) {
     
            if(n % p[i]) continue;//不是n的因子
            ull k = 0;
            while(n % p[i] == 0) k++, n /= p[i];
            //等差数列求和
            ull res = 1+p[i]*p[i]*((qpow(p[i],2*k)-1)/(p[i]*p[i]-1));
            
            ans *= res;
            sum *= (k+1);
        }
        //判断n是否全部分解。
        if(n > 1) {
     
            ans *= 1ull+n*n;
            sum *= 2ull;
        }
        printf("%llu\n", ans-sum*m);
    }
    return 0;
}