欧拉函数

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欧拉函数的定义:

在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。
φ函数的值：

φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))……(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

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欧拉函数的性质：

(1) p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ( p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=pk-p^(k-1)=(p-1)p(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

示例：pandas 是基于NumPy 的一种工具，该工具是为了解决数据分析任务而创建的。

欧拉函数模板:

直接求小于或等于n,且与n互质的个数:

  int Euler(int n)
{
     

    int ret=n;

    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)

     if(n%i==0)

      {
     

        ret=ret/i*(i-1);
        while(n%i==0)
        n/=i;

     }

    if(n>1)

          ret=ret/n*(n-1);

        return ret;

}

筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数:

#define size 1000001

int euler[size];

void Init()

{
     

     memset(euler,0,sizeof(euler));

          euler[1]=1;

     for(int i=2;i<size;i++)

       if(!euler[i])

       for(int j=i;j<size;j+=i)

       {
     

              if(!euler[j])

               euler[j]=j;

               euler[j]=euler[j]/i*(i-1);

         }

}