组合数学 —— 基本计数原理

【抽屉原理】

1.内容

把 n+1 件东西放入 n 个抽屉，则至少有一个抽屉里放两件或两件以上的东西。

从令一角度说，把 n-1 件东西放入 n  个抽屉，则至少一个抽屉是空的。

2.经典应用

给出一个含有 n 个数字的序列，要找一个连续的子序列，使他们的和一定是 c 的倍数

假设 sum[i] 存储整数序列中的前 i 项和

根据抽屉原理，以 sum 数组构造抽屉 drawer 数组，其保存的是最先出现的 sum[i] 的下标，当 sum 的一个元素第二次放入重复的抽屉时，输出结果。

若 sum[i] 是 c 的倍数，直接输出前 i 项即可，若 sum[i] 不是 c 的倍数，则需要计算 sum[i]%c，此时，sum[i]%c = sum[j]%c，i!=j 肯定存在，即第 j 到第 i 项数的和为 c 的倍数。

LL a[N],drawer[N];
LL sum[N];
int main(){
    LL c,n;
    while(scanf("%lld%lld",&c,&n)!=EOF&&c&&n){
        memset(drawer,-1,sizeof(drawer));
        drawer[0]=0;
        sum[0]=0;
        
        for(LL i=1;i<=n;i++){//计算前缀和
            scanf("%lld",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        
        for(LL i=1;i<=n;i++){
            if(drawer[sum[i]%c]!=-1){
                for(LL j=drawer[sum[i]%c]+1;j

【加法原理与乘法原理】

1.分类加法原理

做一件事，完成它有 n 类方式，第一类方式有 M1 种方法，第二类方式有 M2 种方法，…，第 n 类方式有 Mn 种方法，那么完成这件事共有 M1+M2+……+Mn 种方法。

例如：从北京到上海有火车、飞机、轮船 3 种方式，火车、飞机、轮船分别有 k1，k2，k3 个班次，那么从北京到上海有 k1+k2+k3 种方式可以到达。

2.分步乘法原理

做一件事，完成它要分成 n 个步骤，第一步有 M1 种不同的方法，第二步有 M2 种不同的方法，…，第 n 步有 Mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 M1×M2×M3×…×Mn 种不同的方法。

例如：从北京乘坐火车到上海，需要转 3 次车，每次专车分别有 k1，k2，k3 个班次，那么从北京到上海有 k1×k2×k3 种方式可以到达。

3.联系

分类加法原理和分步乘法原理是两个基本原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。

两者区别在于：分类计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理针对的是分步问题，各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成事情。

分类要依据同一标准划分，既必须包括所有情况，又不要交错在一起产生重复；分步则应使各步依次完成，保证整个事件得到完成，既不得多余重复，也不缺少某一步骤。

【应用】

根据研究对象的有无，一般将组合数学分为排列问题和组合问题。

其根本不同是排列问题与元素顺序有关，组合问题与元素顺序无关。

在排列与组合问题中，经常会出现计数问题，解决计数问题的思路一般有以下三种：

1）只取需要的。将各种符合条件的情形枚举出来，再利用加法原理求和。

2）先取后排。将各步符合条件的排列或组合计算出来，再根据乘法原理求积。

3）先全部取，再减去不要的。利用容斥定理，将各种符合条件的情形枚举出来，再减去不符合条件的。

关于容斥定理：点击这里

【例题】

1. 吃糖果（HDU-1205）(抽屉原理)：点击这里
2. Find a multiple（POJ-2356）(抽屉原理)：点击这里
3. Halloween treats（HDU-1808）(抽屉原理)：点击这里
4. Polycarp's Pockets（CF-1003A）(抽屉原理)：点击这里
5. Lining Up（AtCoder-2271）(分步乘法原理)：点击这里