超整数及其用途

    大家知道,整数(Integers))集合Z,包含正、负整数以及零,是一种经常有用的数系。在无穷小微积分学里面,为了展开理论的需要(仅仅是这个目的)必须扩大整数数系Z。怎么办呢?

       J.Keisler教授在《基础微积分》第3.8节连续函数的性质(搜索一下,即可查阅)里面给出如下定义:

DEFINITION

     A hyperinteger(超整数)is a hyperreal number y such that y = [x] for some hyperreal x.

         函数y= [x],平常叫做“最大整数函数”,其记号“[]”本身就是一种特定函数的符号,表示不大于x的整数。也就是说,”When x varies over the hyperreal numbers, [x] is the greatest hyperinteger y such that y x.“,而且,根据转移原则,”Every hyperreal number x is between two hyperintegers [x] and [x]+ 1“,即成立下式:

                                    【x] ≤ x ≤ [x]+1.

           由此可见,超整数是一种特定的超实数,是传统整数系Z的自然扩充Z*。正的无限超实数x产生正的无限超整数,记为:KH等。我们设想,给定超实区间[a,b]*(注意:此区间不是实区间[a,b],区间的右上角带有星号”*“),将其无限地加以“分割”(在无穷小微积分学里面,等分既已足够),得到无限多个(H个)等长的子区间(长度为δ):

                         [a,a+δ] , [a+δ, a+2δ],……[a+(K-1)δ,a+Kδ],……[a+(H-1)δ, b]

各子区间的端点(分割点)是:

                             a,a+δ, a+2δ, ……,a+Kδ……,a+Hδ= b,

其中超整数K1H之间变化。对于超实线段进行无限分割(等分即已足够)在展开微积分学理论方面,特别是无穷级数与积分理论,是非常有用的结构模型。在传统微积分学里面,这是无法想象的。

              实际上,无穷小εδ,超整数HK,是无穷小微积分学的两个”法宝“,神通广大。只要真正地领会、掌握了这两者的实质与用法,学习无穷小微积分就算学得差不多了。无穷小与无穷大(超整数)的具体数值并不重要,它们只是一个理论符号(推理工具),只要它们存在即可。A.Robinson发明”非标准分析“,真是一个”绝招儿“,发明了无穷小εδ,定义了超整数HK,却不管它们的数值到底有多小,究竟有多大。妙哉,妙哉!


 

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