公钥密码所需的数学基础

1. 完全剩余系
   (1) 定理1：对于给定的正整数m，有且恰有m个不同的模m的剩余类。
   (2) 定理2：设m是正整数，整数a满足gcd(a,m)=1，b是任意整数。若x遍历模m的一个完全剩余系，则ax+b也遍历m的一个完全剩余系。
   (3)定理3：设 $m_1,m_2$ 是两个互素的正整数。如果x遍历$m_1$ 的一个完全剩余系，y遍历 $m_2$ 的一个完全剩余系，则 $m_{1}y+m_{2}x$ 遍历 $m_1{m}_2$ 的一个完全剩余系。

2. 简化剩余系
   (1)定理1：设m是正整数，整数a满足gcd(a,m)=1.若x遍历模m的一个简化剩余系，则ax也遍历模m的一个简化剩余系。
   (2)定理2：设 $m_1,m_2$ 是两个互素的正整数。如果x遍历$m_1$ 的一个简化剩余系，y遍历 $m_2$ 的一个简化剩余系，则 $m_{1}y+m_{2}x$ 遍历 $m_1{m}_2$ 的一个简化剩余系。

3. 欧拉定理
   (1)推论1：设m，n是两个互素的整数，则φ(mn)=φ(m)φ(n).
   (2)定理1：若$m=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}...p_k^{e_k}$ ，则
   $$\phi (m)=m\prod _{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$$

   (3)定理2（欧拉定理）：设m是正整数，$r\in Z_m$ ,若gcd(r,m)=1,则$r^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$ 。

4. 群：设G是一个具有代数运算 $\circ$ 非空集合，并且满足：
   (1)封闭性：G中任意两个元素做运算得到的结果仍属于G；
   (2)结合律：$\forall a,b,c\in G$ ,有
   $$(a\circ c)\circ c=a\circ (c\circ c);$$
   (3)有单位元：即G中存在一个元素e：$\forall a\in G$，有
   $$e\circ a=a\circ e=a$$
   (4)有逆元：即对于任意 $a\in G$，存在一个元素 $a^{-1}\in G$，使得
   $$(a\circ a^{-1})=a^{-1}\circ a=e$$

5. 交换群：对于群G中的任意元素，$a,b\in G$都有
   $$ab=ba$$
   则称群G为交换群或阿贝尔群。

6. 群的阶：有限群G中的元素个数称为群的阶，记为|G|。

7. 定理1：一个有乘法的有限集合G，若其乘法在G中封闭，且满足结合律和消去律，则G是群。

8. 循环群：设G是一个群，若存在一个元素a，使得G=,则称G为循环群。元素a称为G的生成元。若$\circ (a)=\infty$ ，G称为无限循环群；若$\circ (a)=n$，n是某个正整数，则G称为有限循环群。