C语言空间直角坐标与大地坐标的相互转换实验报告
C语言空间直角坐标与大地坐标的相互转换实验报告
源代码附文末或见Github:⬇️
直角坐标与大地坐标的相互转化branch:
- master: 正常读取输入。
- file_read: 从csv文件获取输入。
一、实验名称：空间直角坐标与大地坐标的相互转换
二、实验目的与要求
三、实验内容
-
已知某点的空间直角坐标（X、Y、Z）， X = 1546823.34，Y = -3879765.13，Z = 4804185.05，椭球参数a= 6378137m，b= 6356752.3141m，采用下式将其转换为大地坐标（L、B）
-
根据1所求的大地坐标（L、B）及大地高H及相同的椭球参数将其转化为空间直角坐标（X、Y、Z），计算式为：
四、试验设备与环境
五、实验步骤
1 && 2 分析和算法设计
公理1 :由于 L B H LBH LBH 和 X Y Z XYZ XYZ 是相同物理量在相同参考系下的不同表示方法，因此在空间直角坐标系上的某点 ( X Y Z ) (XYZ) (XYZ)，有且只有一个 L B H LBH LBH在大地坐标系与之对应。
推论1 只要 X Y Z XYZ XYZ确定， L B H LBH LBH的值就只与 X Y Z XYZ XYZ的取值有关，而与任何其他变量无关。
下面展开讨论：
由方程可知，虽然 L L L 可以直接求解，但求 B B B 的方程中，包含 B B B 本身，为了验证方程(2)是否可以求解，我们先将方程(2)化简：
B = arctan Z + N e 2 sin B X 2 + Y 2 tan B = Z + N e 2 sin B X 2 + Y 2 (2) \begin{matrix} B = \arctan\dfrac{Z + Ne^2\sin B}{\sqrt{X^2 + Y^2}}\\\tan B = \dfrac{Z + Ne^2\sin B}{\sqrt{X^2 + Y^2}} \tag{2} \end{matrix} B=arctanX2+Y2Z+Ne2sinBtanB=X2+Y2Z+Ne2sinB(2)
为了方便化简，我们令
X 2 + Y 2 = R (3) \sqrt{X^2 + Y^2} = R \tag{3} X2+Y2=R(3)
又由于
N = a 1 − e 2 sin 2 B (4) N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2B}} \tag{4} N=1−e2sin2Ba(4)
将（4）、（3）带入(2)中
tan B = Z R + e 2 R N s i n B = Z R + e 2 R sin B 1 − e 2 sin 2 B = Z R + a e 2 R 1 1 sin 2 B − e 2 (5) \begin{matrix} \tan B &= \dfrac{Z}{R} + \dfrac{e^2}{R}NsinB\\&=\dfrac{Z}{R} + \dfrac{e^2}{R}\dfrac{\sin B}{\sqrt{1-e^2\sin^2B}} \\&= \dfrac{Z}{R} + \dfrac{ae^2}{R}\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 B}-e^2}} \tag{5} \end{matrix} tanB=RZ+Re2NsinB=RZ+Re21−e2sin2BsinB=RZ+Rae2sin2B1−e21(5)
由 推论1 可知，上式中 Z R \dfrac ZR RZ 与 a e 2 R \dfrac{ae^2}{R} Rae2 与 B B B 的值无关，为了方便表示，我们令
Z R = C , a e 2 R = K . \frac{Z}{R} = C, \quad \dfrac{ae^2}{R}=K. RZ=C,Rae2=K.
上式化简为：
tan B = K 1 1 sin 2 B − e 2 + C (6*) \tan B = K\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 B}-e^2}}+C \tag{6*} tanB=Ksin2B1−e21+C(6*)
在上式中，由于 tan B sin B = cos B \dfrac{\tan B}{\sin B} = \cos B sinBtanB=cosB 不为常量，故无法找到一组 k 1 , k 2 ∈ R k_1,k_2\in R k1,k2∈R 满足 k 1 tan B + k 2 sin B = 0 k_1\tan B + k_2 \sin B = 0 k1tanB+k2sinB=0。因此上式左右两端含有变量 B B B 的因子是非线性相关的，所以不可以直接通过方程求解。
由此，为得到 B B B 的值，必须通过其他方式求解。
利用计算机程序可以通过不断猜测 B B B 的值，带入(6)式中，如果(6)左右两端的值足够接近，且由 推论1, 此时猜测到的值 B 猜 B_猜 B猜 必然也会接近实际的值 B 实 B_实 B实。
我们将上述求 B B B 的方法称为遍历法，接下来我们设计遍历法的算法。
遍历法
由题设条件，可知 B ∈ ( − π 2 , π 2 ) B \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}) B∈(−2π,2π)。
- 一个可执行的算法必须由有限步构成。
但是可能出现的 B B B 的值确是无限的，为此，我们将 B B B 进行离散化 ，即每隔很小的值 δ ( d e l t a ) \delta (delta) δ(delta) ，取一个新的值 B B B。
为了方便表示，我们设计损失函数 L o s s Loss Loss用来计算方程左右两端的差值。
L o s s ( B ) = tan B − K 1 1 sin 2 B − e 2 + C (7) Loss(B) = \tan B - K\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 B}-e^2}}+C \tag{7} Loss(B)=tanB−Ksin2B1−e21+C(7)
当函数Loss的值很小时，则认为此时的 B B B达到了目标值 B 实 B_实 B实。
用数学语言可以描述为：
若取一个足够小的 ε > 0 \varepsilon > 0 ε>0，
对于
B 0 = − π 2 + k δ , 且 ( k ∈ N ∗ ) B 0 < π 2 B_0 = -\frac{\pi}{2} + k\delta, 且(k\in N^*)B_0 < \dfrac{\pi}{2} B0=−2π+kδ,且(k∈N∗)B0<2π
时，如果满足
∣ L o s s ( B 0 ) ∣ < ε |Loss(B_0)| <\varepsilon ∣Loss(B0)∣<ε
则认为 B = B 0 B = B_0 B=B0。
梯度下降法
使用遍历法求解时，往往会由于需要遍历的变量的数量太多，导致程序的运行时间太长，难以得到正确的结果。当我们遍历时，只是盲目的遍历，我们并不知道到底经过多少个 δ \delta δ 后，能够使 L o s s Loss Loss函数的绝对值变小。这是因为，我们只用 L o s s Loss Loss 函数的值与0比较，这样的比较获得的信息量是十分少的，为了从 L o s s Loss Loss 函数中获取更多信息，我们可以考虑将 L o s s Loss Loss 函数的绝对值进行求导，将其导函数记为 L o s s ′ Loss' Loss′
我们的目标是使 L o s s Loss Loss 函数的值趋近于0，对于一个点 ( B , L o s s ( B ) ) (B, Loss(B)) (B,Loss(B)) ，如果 L o s s ( B ) > 0 Loss(B) > 0 Loss(B)>0，我们应该调整 B B B 的值，使得 L o s s ( B ) Loss(B) Loss(B)减少，相反，如果 L o s s ( B ) < 0 Loss(B) < 0 Loss(B)<0， 我们应该调整 B B B的值，使 L o s s ( B ) Loss(B) Loss(B)增加。
即：
- L o s s ( B ) > 0 Loss(B) > 0 Loss(B)>0, B B B 向 L o s s ′ ( B ) < 0 Loss'(B) < 0 Loss′(B)<0的方向移动。
- L o s s ( B ) < 0 , B Loss(B) < 0, B Loss(B)<0,B 向 L o s s ′ ( B ) > 0 Loss'(B) > 0 Loss′(B)>0 的方向移动。
以点 X = − 2758534 , Y = − 4132154 , Z = 3986124 X = -2758534, Y = -4132154, Z = 3986124 X=−2758534,Y=−4132154,Z=3986124为例，
绘制出 L o s s Loss Loss函数的图像：
发现 L o s s Loss Loss函数并不是简单的单调函数，用上述算法有可能达到一个使 L o s s ( B ) Loss(B) Loss(B)为0的点，也有可能达到函数的一个极值点，并不是在所有情况下都能符合条件。
二分法
虽然梯度下降法无法实现，但这给我们进一步实现程序提供了思路，即让 B B B 的取值变得更加具有方向性。
由于当 B → − π 2 B\to -\dfrac{\pi}{2} B→−2π 时，
L o s s ( B ) → − ∞ Loss(B) \to -\infin Loss(B)→−∞
当 B → π 2 B\to \dfrac{\pi}{2} B→2π时，
L o s s ( B ) → + ∞ Loss(B) \to +\infin Loss(B)→+∞
又由推论2可知，在区间 ( − π 2 , π 2 ） (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}） (−2π,2π）内， L o s s ( B ) Loss(B) Loss(B)有且只有一个一个零点。可以很容易想到二分法的求解方式：
- L o o p S t a r t : Loop Start: LoopStart:
- m i d = r i g h t + l e f t 2 mid = \dfrac{right +left}2 mid=2right+left
- i f L o s s ( m i d ) > ε , l e f t = m i d if \quad Loss(mid) > \varepsilon , left = mid ifLoss(mid)>ε,left=mid
- e l s e i f L o s s ( m i d ) < − ε , r i g h t = m i d else \quad if \quad Loss(mid) < -\varepsilon, right = mid elseifLoss(mid)<−ε,right=mid
- e l s e B = m i d else\quad B = mid elseB=mid
- : L o o p E n d :LoopEnd :LoopEnd
迭代法
由于式(6)
tan B = K 1 1 sin 2 B − e 2 + C (6*) \tan B = K\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 B}-e^2}}+C \tag{6*} tanB=Ksin2B1−e21+C(6*)
如果我们令方程左边的 B = B n + 1 B = B_{n+1} B=Bn+1 方程右边的 B = B n B = B_n B=Bn，就可以得到一个关于 B B B 的迭代方程。
B n + 1 = arctan ( K 1 1 sin 2 B n − e 2 + C ) (8*) B_{n+1} = \arctan\left(K\frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2B_n}}-e^2}+C\right) \tag{8*} Bn+1=arctan⎝⎜⎜⎛Ksin2Bn1−e21+C⎠⎟⎟⎞(8*)
我们称上面的递推式为函数 F o r w a r d ( B ) Forward(B) Forward(B)。
以点 X = − 2758534 , Y = − 4132154 , Z = 3986124 X = -2758534, Y = -4132154, Z = 3986124 X=−2758534,Y=−4132154,Z=3986124为例，
绘制出 F o r w a r d Forward Forward函数的图像：
上图中粗线为 F o r w a r d Forward Forward函数，虚线为直线 B n + 1 = B n B_{n+1} = B_n Bn+1=Bn。
设曲线 F o r w a r d Forward Forward 与 直线 B n + 1 = B n B_{n+1} = B_n Bn+1=Bn的交点为 A A A ， A A A的横坐标为 x 0 x_0 x0，很显然 A A A是函数 F o r w a r d Forward Forward 的一阶不动点。由递推函数的性质可知，
-
当 B n < x 0 B_n < x_0 Bn<x0 时， B n + 1 > B n B_{n+1} > B_n Bn+1>Bn
-
当 B n > x 0 B_n > x_0 Bn>x0时， B n + 1 < B n B_{n+1} < B_n Bn+1<Bn
-
当 B n = x 0 B_n = x_0 Bn=x0时， B n + 1 = B n B_{n+1} = B_n Bn+1=Bn
因此如果迭代次数无穷大，那么 B n B_n Bn的值会无限接近于 x 0 x_0 x0或等于 x 0 x_0 x0。
我们用 P y t h o n Python Python模拟一下迭代过程：
from math import * import matplotlib.pyplot as plt a = 6378137 b = 6356752 e = sqrt((a * a - b * b) / (a * a)) X = -2758534 Y = -4132154 Z = 3986124 R = sqrt(X * X + Y * Y) K = a * e * e / R C = Z / R x = [] y = [] def forWard(x): N = a / sqrt(1 - e * e * sin(B) * sin(B)) tmp = sqrt(1/(sin(x) * sin(x)) - e * e) return atan(K / tmp + 0.1) + C B = C times = 100 t = 0 while True: t += 1 nextB = forWard(B) #plt.plot(t, nextB, '+') B = nextB if t >= times: break x.append(t) y.append(B) plt.xlabel("times") plt.ylabel("B") plt.plot(x, y) plt.show()
理论和实践都告诉我们，使用迭代公式计算时， B B B 会趋近于某一个特殊的值 x 0 x_0 x0。
下证：该 x 0 x_0 x0就是我们的目标值 B 实 B_实 B实
当 B = x 0 B = x_0 B=x0时，由于 x 0 x_0 x0是 F o r w a r d Forward Forward 函数的一阶不动点，故有
tan B = K 1 1 sin 2 B − e 2 + C \tan B = K\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2 B}-e^2}}+C tanB=Ksin2B1−e21+C
将上式带入 L o s s Loss Loss函数中，可以得到 L o s s ( B ) = 0 Loss(B) = 0 Loss(B)=0，又由推论1知这样的 B B B是唯一的，因此 B = x 0 B = x_0 B=x0 就是所求值。
证毕。
(上述证明其实显而易见，用迭代法的关键是证明一阶不动点存在， 但是该证明过程较为复杂，我们可以在物理领域内使用反证法：如果不存在一阶不动点，那么函数 L o s s Loss Loss就没有解，这与实际情况不符，故一定存在一阶不动点)。
第二小问直接带入公式计算。
3流程图
遍历法：
二分法：
迭代法：
4、 程序代码
本部分只使用迭代法完成代码。
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// main.cpp
// ChangePosition
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// Created by Sumbrella on 2020/4/28.
// Copyright © 2020 Sumbrella All rights reserved.
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# include 5、 主要函数和变量说明
主要函数说明见上图。
变量和常量说明：
（X，Y，Z）、（L，B，H）分别对应直角坐标和大地坐标下的坐标值。
C = Z / R， K = ae^2 / R。
6、 程序运行结果
转换后得到的坐标与原始数据完全一致，认为程序通过。