算法：加分二叉树（区间DP）

区间dp

第一步：循环区间长度
第二步：循环左端点，同时判断右端点不能出界。
本题的状态表示f[l][r]表示左端点为l，右端点为r的区间中分值最大的值。
具体问题情景分析
g[l][r]表示当前区间l，r之间最大分值的根节点是谁。用于之后的前序遍历输出。（前序遍历：根-左-右）（中序遍历：左-根-右）
当区间长度为1时，根节点没有左右儿子，故它的得分就为它自己本身。
当区间长度大于1时，且左端点为根节点时，说明其左儿子为空，故其左儿子得分为1。
同理右端点为根节点时，说明其右儿子为空，故其右儿子得分为1。
当前节点的得分就是左儿子得分乘右儿子得分加上当前节点的值。
然后与f[l][r]相比较如果当前的得分更大就更新这个区间的得分最大值，并且将得分最大值时的根节点更新为当前的根节点。

问题描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1。叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：一个整数n，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。

输出格式

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过int范围）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

数据范围

n<30

输入样例：

5
5 7 1 2 10

输出样例：

145
3 1 2 4 5

代码

#include
using namespace std;
int n;
const int N = 40;
int f[N][N];
int g[N][N];
int w[N];

void print(int l, int r){
     
    if(l > r){
     
        return;
    }
    cout << g[l][r] << " ";
    int k = g[l][r];
    print(l, k - 1);
    print(k + 1, r);
    return;
}

int main(){
     
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
     
        cin >> w[i];
    }
    for(int len = 1; len <= n; ++len){
     
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; ++l){
     
            int r = l + len - 1;
            if(len == 1){
     
                f[l][r] = w[l];
                g[l][r] = l;
            }else{
     
                for(int k = l; k <= r; ++k){
     
                    int left = k == l ? 1 : f[l][k-1];
                    int right = k == r ? 1 : f[k+1][r];
                    int score = left * right + w[k];
                    if(score > f[l][r]){
     
                        f[l][r] = score;
                        g[l][r] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << f[1][n] << endl;
    print(1, n);
    return 0;
}

原题链接