【数学】算法复杂度的相关数学公式

1、${\log }_{2}n!=\Theta (n{\log }_{2}n)$
证明：由Stirling公式，$$n!\sim (\frac{n}{e}{)}^n\sqrt{2\pi n}$$所以$${\log }_{2}n!\sim n({\log }_{2}n-{\log }_{2}e)+\frac{1}{2}({\log }_{2}n+{\log }_{2}2\pi )\sim (\frac{1}{2}+n){\log }_{2}n=\Theta (n{\log }_{2}n)$$严格证明也不难。由$\sim$定义，$\forall ϵ>0$，存在$N$使得$\forall n>N$，有$$(1-ϵ)n!<(\frac{n}{e}{)}^n\sqrt{2\pi n}<(1+ϵ)n!$$两边取对数，再让$ϵ$随便取一个充分小的数即证。

Stirling公式在估计阶乘的方面非常有用。如果不用Stirling公式，也有一种简单的证明，证明如下（以下使用自然对数，结果不影响）：
由于$\ln n!={\sum }_{i=1}^n\ln i$，我们可以考虑用积分来对其进行估计。容易知道：$${\int }_1^n\ln xdx<\sum _{i=2}^n\ln i<{\int }_2^{n+1}\ln xdx$$由$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$，所以$$n\ln n-n+1<\sum _{i=2}^n\ln i<(n+1)\ln (n+1)-n+1-2\ln 2$$三边除以$n\ln n$然后让$n$充分大即得。

2、${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}$的估计。也用积分进行估计。由不等式$${\int }_1^{n+1}\frac{1}{x}dx<\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}<{\int }_1^n\frac{1}{x}dx+1$$所以$$\ln (n+1)<\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}<\ln n+1$$三边除以$\ln n$，由于我们知道$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)}{\ln n}=1$$得到${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}=\Theta (\log n)$。
事实上还有更严格的结论：$$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}-\ln n)=\gamma =0.5772...$$其中$\gamma$为Euler-Mascheroni常数。

3、等差数列求和公式：若$a_n=a+(n-1)q$，则$$\sum _{i=1}^n{a}_n=\frac{[2a+(n-1)q]n}{2}$$
等比数列求和公式：若$a_n=a{q}^{n-1}$，则$$\sum _{i=1}^n{a}_n=a\frac{1-q^n}{1-q}$$
等差乘等比数列求和公式：若$a_n=a+(n-1)p$，$b_n=b{q}^{n-1}$，则$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=b(a-p)\sum _{i=1}^n{q}^{i-1}+bp\sum _{i=1}^{n}i{q}^{i-1} \\ =b(a-p)\frac{1-q^n}{1-q}+bpS \end{gathered}$$其中$S={\sum }_{i=1}^{n}i{q}^{i-1}$，所以$qS={\sum }_{i=1}^{n}i{q}^i={\sum }_{i=2}^{n+1}(i-1)q^{i-1}$，所以$$\begin{gathered} (1-q)S=1-n{q}^n+\sum _{i=2}^n{q}^{i-1} \\ =1-n{q}^n+q\sum _{i=0}^{n-2}{q}^i=1-n{q}^n+q\frac{1-q^{n-1}}{1-q} \end{gathered}$$所以$$S=\frac{1}{1-q}(1-n{q}^n+q\frac{1-q^{n-1}}{1-q})$$将$S$代入上式即得。