[数学建模]差值算法及代码

建模算法整理：文章主要介绍了 差值算法。
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1 插值算法的作用

      建模中，我们需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有的时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

2 插值和拟合区别

      插值算法中，所得的多项式f(x)要经过所有的样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过多，会造成龙格现象。
      尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到一个确定的曲线，尽管这个曲线不能过每一个样本店，但只要保证足够小即可，这就是拟合的思想。

3 插值和拟合的选取

      当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时,通常利用函数插值方法。
      数据量多，不要求曲线经过每个点，同时要求多项式不要过于复杂我们选择拟合。

4 分段三次埃尔米特插值

4.1 代码实例

% 分段三次埃尔米特插值
x = -pi:pi; y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

4.2 结果显示

4.3 plot用法

% plot函数用法:
% plot(x1,y1,x2,y2) 
% 线方式： - 实线 :点线 -. 虚点线 - - 波折线 
% 点方式： . 圆点  +加号  * 星号  x x形  o 小圆
% 颜色： y黄； r红； g绿； b蓝； w白； k黑； m紫； c青

5 分段三次埃尔米特插值和三次样条插值的区别

5.1 代码实例

% 三次样条插值和分段三次埃尔米特插值的对比
x = -pi:pi; 
y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p1 = pchip(x,y,new_x);   %分段三次埃尔米特
p2 = spline(x,y,new_x);  %三次样条插值
figure(2);
plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-')
legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast') 
% legend为标签 'Location','SouthEast'是为了设定显示位置

5.2 结果展示

5.3 原因解释

      三次样条插值也是分段三次多项式插值,只需要被插值函数在插值节点处的函数值,不需要知道被插值函数在插值节点处的导数值,数据要求低,光滑性好,可以达到二阶导数连续。
       三次分段Hermite插值是分段三次多项式插值,需要同时知道被插值函数在插值节点处的函数值和导数值,数据要求高,可以达到导数连续,光滑性不如样条插值的好.

6 n维数据差值(linear cubic spline)

6.1 代码实例

%格式 p = interpn(x1,x2,...,xn, y, new_x1,new_x2,...,new_xn, method)
% method是要插值的方法
%‘linear’：线性插值（默认算法）；
%‘cubic’：三次插值；
%‘spline’：三次样条插值法；(最为精准) ‘nearest’：最邻近插值算法。
% n维数据的插值

x = -pi:pi; y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = interpn (x, y, new_x, 'spline');
% 等价于 p = spline(x, y, new_x);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

6.2 结果显示

总结

  文章纯属建模学习整理。
1、2016到2020美赛o奖论文
2、姜启源 司守奎电子书
3、论文模板
4、算法代码
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