欧拉函数——签到题

题目

Luogu：P3601 签到题

算法分析

题中 我们定义一个函数：$qiandao(x)$为小于等于x的数中与$x$不互质的数的个数 让我们很自然地想到 欧拉函数 。那就在这里先介绍一下这个神奇的函数。

数论基础——欧拉函数

学习完之后我们勾回头来看这道题，题中的 $qiandao(x)$ 其实就是求
$(phi(x)$表示x的欧拉函数$)$ $$\sum _{i=l}^r(i-phi(i))$$
我们定睛一看发现这道题的数据有点大，但两端点之间的区间相对较小，于是考虑对区间进行处理并扫描统计即可。先筛出$10^6$中所有的质数，然后对$[l,r]$区间进行处理。

具体代码见下

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#define rg register
#define ll long long 
using namespace std;
const int P=666623333;
const int MAXN=1000001;
ll prime[MAXN];
int isprime[MAXN];
ll l,r,cnt,ans;
ll phi[MAXN];
ll n[MAXN];
void iprime()
{
     
 for(rg int i=2;i<=MAXN;++i)
 {
     
  if(!isprime[i])
   prime[++cnt]=i;
  for(rg int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
  {
     
   isprime[j]=1;
  }
 }
}
void getphi()
{
     
 int i=1;
 while(prime[i]*prime[i]<=r)
 {
     
  for(rg int x=(prime[i]-l%prime[i])%prime[i];x<=r-l;x+=prime[i])
  {
     
   phi[x]=phi[x]/prime[i]; phi[x]=phi[x]*(prime[i]-1);
   while(n[x]%prime[i]==0)
   {
     
    n[x]/=prime[i];
   }
  }
  i++;
 }
}
int main()
{
     
 iprime();
 scanf("%lld %lld",&l,&r);
 for(rg ll i=l;i<=r;++i)
 {
     
  phi[i-l]=i; n[i-l]=i;
 }
 getphi();
 for(rg ll i=0;i<=r-l;++i)
 {
     
  if(n[i]!=1)
  {
     
   phi[i]/=n[i];phi[i]*=(n[i]-1);
  }
  ans=(ans+(i+l-phi[i])%P)%P;
 }
 printf("%lld\n",ans);
 return 0;
}

总结与反思

$1.$数据太大想办法处理，如本题可转化成区间长度扫描。
$2.$学习理解欧拉函数，要掌握一些常用的板子。
$3.$要学会对数据范围进行分析，根据不同的数据范围选择不同的算法。