数学建模——插值算法

什么情况用它：

• 需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析
• but 现有的数据极少，不足以支撑分析的进行
• 需要 “ 模拟产生 ” 一些新的 and 可靠的值来满足需求

插值法分类：

• 分段插值
• 多项式插值
• 三角插值

拉格朗日插值法

• 两个点：
  
• 三个点：
  
• 四个点：
  

缺点：

会产生龙格现象（Runge phenomenon)

这时候就推荐分段线性插值

分段二次插值

牛顿插值法

两种插值法对比：

维度	拉格朗日插值	牛顿插值
缺点	龙格现象，不能全面反映被插值函数的性态	也存在龙格现象不能全面反映被插值函数的性态
优点		具有继承性

埃尔米特插值（Hermite) 登场

介绍：

原理

分段三次埃尔米特插值

直接使用 Hermite 插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，使用 三次Hermite插值多项式 （PCHIP)

三次样条插值

我也有点懵逼

函数介绍

plot 函数用法

plot (x1, y1, x2, y2)
plot(x, y, ‘o’, new_x, p, ‘r-’)

线方式	介绍
-	实线
：	点线
-.	虚点线
–	波折线

点方式	介绍
.	圆点
+	加号
*	星号
x	x行
o	小圆

颜色	介绍
y	黄
r	红
g	绿
b	蓝
w	白
k	黑
m	紫
c	青

Hermite内置函数

• 示例代码：

x = -pi:pi;
y = sin(x);
new_x = -pi:0.1:pi;
p = pchip(x, y, new_x);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

• pchip函数介绍

插入后对应的纵坐标 = pchip(自变量，因变量，插入处对应的横坐标）

三次样条插值内置函数

• 示例代码：

x = -pi:pi;
y = sin(x);
new_x = -pi:0.1:pi;
p1 = pchip(x, y, new_x);        % 分段三次埃尔米特插值
p2 = spline(x, y, new_x);       % 三次样条插值
plot(x, y, 'o', new_x, p1, 'r-', new_x, p2, 'b-')
legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast')   % 标注显示在东南方向

n维数据插值(了解）

p = interpn(x1, x2, …xn, y, new_x1, new_x2, …, new_xn, method)

• x1, x2, …, xn是已知的样本点的横坐标
• y 是 一直的样本点的纵坐标
• new_x1, new_x2, …, new_xn 是要插入点的横坐标

method 是要插值的方法：

• linear：线性插值（默认算法）
• cubic：三条插值
• spline：三次样条插值法（最为精准）
• nearest：最邻近插值算法

• 示例代码：

x = -pi:pi;
y = sin(x);
new_x = -pi:0.1;pi;

p = spline(x, y, new_x)
等价于 p = interpn(x, y, new_x, 'spline');

闪亮登场——可用于 短期预测