双序列型动态规划——编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

1、确定状态

设A长度是m，B长度是n

全部操作完成后 A 的长度也是 n ，并且 A[n-1]=B[n-1]

于是最优策略最终都是让A的最后一个字符变成B 的最后一个字符。

按照题目描述，让A的最后一个字符变成B 的最后一个字符我们总共可以分为四种情况：

• 情况一：A在最后插入B[n-1]， 要将A[0…m-1]变成B[0…n-2]
• 情况二：A最后一个字符替换成B[n-1]，要将A[0…m-2]变成B[0…n-2]
• 情况三：A删掉最后一个字符，要将A[0…m-2]变成B[0…n-1]
• 情况四：A和B最后一个字符相等，要将A[0…m-2]变成B[0…n-2]

因此，要求A[0…m-1]和B[0…n-1]的最小编辑距离，就需要求A[0…m-1]和B[0…n-2]的最小编辑距离，A[0…m-2]和B[0…n-1]的最小 编辑距离和A[0…m-2]和B[0…n-2]的最小编辑距离

所以可以假设f[i][j]为A前i个字符A[0…i-1]和B前j个字符B[0…j-1]的最小编辑距离

2、转移方程

f[i][j]为A前i个字符A[0…i-1]和B前j个字符B[0…j-1]的最小编辑距离

3、初始条件和边界情况

初始条件：一个空串和一个长度为L的串的最小编辑距离是L

– f[0][j] = j (j = 0, 1, 2, …, n)

– f[i][0] = i (i = 0, 1, 2, …, m)

4、计算顺序

逐行计算，答案是f[m][n]

时间复杂度：O(MN)，空间复杂度：O(MN)

5、代码实现

class Solution(object):
    def minDistance(self, word1, word2):
        """
        :type word1: str
        :type word2: str
        :rtype: int
        """
        n = len(word1) + 1
        m = len(word2) + 1
        dp = [[0] * m for i in range(n)]
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                if i == 0 and j == 0:
                    continue
                if i == 0:
                    dp[i][j] = j
                    continue
                if j == 0:
                    dp[i][j] = i
                    continue
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1)
                if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1])
        return dp[n - 1][m - 1]