同济高等数学：第一章第二节 数列的极限

本小节我们主要把目光聚焦在数列极限的定义上面，以及如何利用定义证明极限存在。最后简单介绍下收敛数列的性质。

一、数列极限的定义

这个定义是令很多学习者头大的事情。接下来我们主要对这个定义加以解释。

首先我们得知道，数列的极限解决的是什么问题？

注： 两个数之间的接近程度可以用两个数之间差的绝对值来表示。差的绝对值越小，这两个数就越接近。

那么对于

的解释就迎刃而解。

它表示就是数列的第n项与极限值之间的距离。这个距离小于任意给定一个正数具体来说呢，这个符号表示一个任意的，特别小的正数。

那么文字表述就是，数列第n项与极限值的距离小于一个任意给定的特别小的正数。这就表明数列已经很接近极限。

但又出现一个小问题。

数列第n项与极限值很接近的前提是n趋近于无穷大，但不确定n到底是多少？
在书上这个是根据一个例子推出来的。

数列与极限1的距离为n分之一。如果我们取一个为1000分之1，那么如果想让这个距离小于1000分之1，n只要大于1000就行。同样的往下推到，想要这个距离更小，n对应着肯定也会有一个取值。所以说，每指定一个小距离，对应着就会有一个n带入能让数列取值与极限的距离小于指定的的小距离。

那么，对应着就是定义里的这句话：

这里我们在用文字整体的对定义叙述一遍。（这是个人的理解，如果错误欢迎评论）

如果一个数列存在极限，那么任意给定一个特别小的正数，总会存在一个正整数N，当n大于N时，也就是取N以后的项时，数列与极限值的距离都会小于任意给定的特别小的正数，那么就表明数列的极限成立。

我们需要注意两点：这里不再详细解释，因为根据上边我整个的解释肯定能看懂

。

二、利用定义证明极限

这个时候我们就应该明白，根据定义判定数列极限的关键，在于找到这个正整数N。
上例题！！！！！

这个例题的主要说明就是常数列的极限还是常数本身，证明极限还不是太明显，我们接着走！！！！！

说白了，就是先利用极限带入距离的绝对值式子，求出一个n的范围，此时的n的范围是满足那个绝对值式子的，然后我们再在n的范围内任取一个正整数N。

再来一个例子！！！

请读友们就根据我的三步来理解这个式子。另外这个例子可以取整加1得出结果，毕竟N是一个正整数。

三、收敛数列的性质

其实定理三简单来说就是在数列接近极限值的那段小距离内的函数值都跟极限值的符号相同。

这里我们对这些定理不再过多解释。