文本比较算法--Needleman/Wunsch算法

一、定义:

定义：
LCS(A,B)表示字符串A和字符串B的最长公共子串的长度。

很显然，LCS(A,B)=0 表示两个字符串没有公共部分。

例如，字符串A=kitten，字符串B=sitting ,那他们的最长公共子串为ittn ，最长公共子串长度为4。

（注：最长公共子串不需要连续出现，但一定是出现的顺序一致），

二、公式：

为了讲解计算LCS(A,B)，特给予以下几个定义:

A=a1a2……aN，表示A是由a1a2……aN这N个字符组成，Len(A)=N;

B=b1b2……bM，表示B是由b1b2……bM这M个字符组成，Len(B)=M.

定义LCS(i,j)=LCS(a1a2……ai,b1b2……bj)，其中0≤i≤N，0≤j≤M.

对于1≤i≤N，1≤j≤M，有公式:

若ai=bj，则LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1
若ai≠bj，则LCS(i,j)=Max(LCS(i-1,j-1),LCS(i-1,j),LCS(i,j-1))

计算LCS(A,B)的算法有很多，下面介绍的Needleman/Wunsch算法是其中的一种。和LD算法类似，Needleman/Wunsch算法用的都是动态规划的思想。

三、举例说明:

举例说明：A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，计算LCS(A,B)

第一步：初始化LCS矩阵

第二步：利用公式，计算矩阵的第一行

第三步：利用公式，计算矩阵的其余各行

则，LCS(A,B)=6.

可以看出，Needleman/Wunsch算法实际上和LD算法是非常接近的。故他们的时间复杂度和空间复杂度也一样。时间复杂度为O(MN)，空间复杂度为O(MN)。空间复杂度经过优化，可以优化到O(M)，但是一旦优化就丧失了计算匹配字串的机会了。

还是以上面为例A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，LCS(A,B)=6.

他们的匹配为：

　　
如上面所示，蓝色表示完全匹配，黑色表示编辑操作，_表示插入字符或者是删除字符操作。如上面所示，蓝色字符有6个，表示最长公共子串长度为6。

利用上面的Needleman/Wunsch算法矩阵，通过回溯，能找到匹配字串

第一步：定位在矩阵的右下角

第二步：回溯单元格，至矩阵的左上角

若ai=bj，则回溯到左上角单元格

若ai≠bj，回溯到左上角、上边、左边中值最大的单元格，若有相同最大值的单元格，优先级按照左上角、上边、左边的顺序

若当前单元格是在矩阵的第一行，则回溯至左边的单元格
若当前单元格是在矩阵的第一列，则回溯至上边的单元格

依照上面的回溯法则，回溯到矩阵的左上角

第三步：根据回溯路径，写出匹配字串

若回溯到左上角单元格，将ai添加到匹配字串A，将bj添加到匹配字串B
若回溯到上边单元格，将ai添加到匹配字串A，将_添加到匹配字串B
若回溯到左边单元格，将_添加到匹配字串A，将bj添加到匹配字串B
搜索晚整个匹配路径，匹配字串也就完成了

四、代码案例

见博主文章：腾讯笔试编程题：构造回文（C++）