ios:sync_with_stdio(false)
提高cin速度，不能再用scanf，速度还是没有scanf快
基础算法
排序
快速排序（nlogn） 分治
- 判断退出条件
- 确定分界点 mid
- 指针移动+交换
- 递归
（边界问题，mid和递归的划分要对应，取不到出错）
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
if (l >= r) return;
int i = l - 1, j = r + 1, x = q[(l + r ) / 2];
while (i < j)
{
do i ++ ; while (q[i] < x);
do j -- ; while (q[j] > x);
if (i < j) swap(q[i], q[j]);
}
quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}
归并排序（nlogn） 分治
- 判断退出条件
- 确定分界点 下标mid
- 递归
- 归并 合二为一 放到temp中
- 存回原数组中
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
if (l >= r) return;
int mid = l + r >> 1;
merge_sort(q, l, mid);
merge_sort(q, mid + 1, r);
int k = 0, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r)
if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}C++的sort()
快速排序+插入排序
二分
整数二分
二分保证一定有解，题目不一定有解
- 写while
- 取mid = (l + r) / 2
- 写check函数
- 看check函数决定l = mid还是r = mid(l=mid时候第一步+1)
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}浮点数二分
eg: 找平方根
- 保留四位小数 精度 < 1e-6
- 五位小数 1e-7
- 六位小数 1e-8
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}高精度
- 大整数存储：用字符串读，用vector存（小端）
A+B 10^6
- 算每一位的和放到vector中
- 当前位 %10，进位 /10
- 最后要处理是否还有进位
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector add(vector &A, vector &B)
{
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
vector C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
if (t) C.push_back(t);
return C;
}
A-B 10^6 （）
- 先比较位数，然后从最高位开始比较。A>=B，否则算-(B-A)
- 循环处理每一位（判断B的位数是否还能减），记录是否有借位
- 处理前导0
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector sub(vector &A, vector &B)
{
vector C;
for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t = A[i] - t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);
if (t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
A*a len(A) <= 10^6 a <= 10^9
- A的每一位乘a
- 当前位为(A a + 进位) % 10，进位为（A a + 进位）/ 10
- 不要忘记处理最后的进位
// C = A * b, A >= 0, b > 0
vector mul(vector &A, int b)
{
vector C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
力扣 题b范围太大无法通过
A/B
- 从最高位开始算
- 余数为余数乘10 + 当前位
- 当前结果为 余数/b
- 余数为 当前余数%b
- 去除前导0
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector div(vector &A, int b, int &r)
{
vector C;
r = 0;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
{
r = r * 10 + A[i];
C.push_back(r / b);
r %= b;
}
reverse(C.begin(), C.end());
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
} 前缀和（核心：求和）
下标从1开始，好处理边界问题
一维前缀和
- 如何求：Si = a1+a2+...+ai
- 作用:求出一段的和
- [l,r] = Sr - Sl-1
- 定义：
- S0 = 0
- Si = Si-1 + ai
二维前缀和
- Sij：左上所有元素的和
S_ {ij} = S_ {(i-1)j} + S_ {i(j-1)} - S_ {(i-1)(j-1)} + a_ {ij}- (x1,y1)到(x2,y2)的所有元素和
S_ {x1,y1->x2,y2} = S_ {x2,y2} + S_ {x2,y1-1} - S_ {x1-1,y2} + S_ {x1-1,y1-1}差分（核心：构造子序列）前缀和的逆运算
一维差分
应用：在一个数组a[]的指定区间[l,r]上每个数都加上c
- 构造出b[](b[i] = a[i] - a[i - 1])，a是b的前缀和
- 要a在[l,r]上的每个数都加c
- b[l] += c
- b[r+1] -=c
- 对b求前缀和，得到要的a
二维差分
应用：对二维矩阵指定区间的所有值加上c
- 构造b[](bi = ai - ai - 1 - ai + ai - 1)
- 要a在[x1,y1]到[x2,y2]上的每个数都加c
- bi += c
- bi + 1 -= c
- bi -= c
- bi + 1 +=c
双指针算法
- 两个序列两个指针
- 一个序列首尾指针
- 核心思想：O（n ^ 2） -> O(n)
- i是左指针
for(int i = 0, j = 0; j < n; j++)//后指针不断更新
{
while(i < j && check_not_()) i++; //不满足条件，前指针更新
}位运算
n的二进制表示中第k位是几
- 先把第k位移到最后一位 n >> k
- 看个位是几 & 1
- n >> k & 1(相当于与000001)
lowbit(x)
- eg：x = 101000 lowbit(x) = 1000
- lowbit(x)实现：x & -x
- 应用：统计1的个数
- eg：x -= lowbit(x) ans++;
离散化
- 思想：将0~10^9的n个不连续值映射到0，1，2，3 ... n-1
- eg：1，20，50000 -> 0，1，2
- 应用：值的跨度大，真正用到的数很少（AcWing 802）
- 排序
- 去重 alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
- unique()将重复元素放到后面，返回下标
- 二分查找对应离散化值
vector alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
} 区间合并
- 按区间左端点排序
- 扫描整个区间，将有交集的区间合并
- 如果右端点小于当前左边，更新左右端点
- 如果右端点大于等于当前左边，更新右端点
void merge(vector &segs)
{
vector res;
sort(segs.begin(), segs.end());
int st = -2e9, ed = -2e9;
for (auto seg : segs)
if (ed < seg.first)
{
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
st = seg.first, ed = seg.second;
}
else ed = max(ed, seg.second);
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
segs = res;
} 部分代码和课程内容来自
AcWing