哈希表、字符串哈希初步学习

一、哈希表

哈希表h[ ]的存储结构是为了实现O(1)的复杂度查找一个数。

通过哈希函数f(x)完成映射，由关键字key得到哈希表中的下标idx：idx=f(key);

然后进行存储：h[idx]=key;

1. 构建哈希函数： 除留取余法

   f(x) = x mod p 将x映射到 0到p-1 之间的数。

   其中：p要取成一个质数，而且要离2的整次幂尽可能远。

2. 解决冲突问题：当f(key1)==f(key2)时

   1. 拉链法，一个h[i]处连一个单链表
   2. 开放寻址法，冲突则往后顺移，因此 h 的长度一般定义为规定范围的2到3倍

1. 链地址法

和开放寻址法相比，哈希表的长度和实际要求的长度N一样即可。但是每个位置要引出一个单链表，共N条单链表，将所有f(key)为同一地址的映射在同一条单链表中。

因此，哈希表h中每个位置存储的不再是key值，而是作为一个头结点指向单链表，单链表为不包含头结点的单链表。

N个单链表的总长度也为N，理想情况下，每个单链表只有一个结点(不发生冲突)。单链表用之前学过的数组模拟，用一个数组模拟多个链表(因为有多个头结点指向)。

#include 
#include 

using namespace std;

const int N=1e5+3; //取大于1e5的第一个质数
int h[N]; //哈希表，作为head结点指向存储数值的e链表 ，冲突的存在同一位置
int e[N],ne[N],idx;
//这里可以从0开始存储，每个头结点都是单独拉出的head指向的
//ne[i]=-1作为链表结束的标志，表示后面没有链表了，为了避免单独考虑初始化的问题，h数组初始化为-1，初始表示空，指向结尾
//memset数组适合初始化0(00000000) -1(11111111)  0x3f3f3f3f3f  是按字节初始化
void insert(int x)
{
     
    //x属于-10^9到 10^9 ，模N后属于-(N-1)到N-1，要将其映射到正数的区间(0,N-1)
    int k=(x%N+N)%N; //-(N-i)和i模N同余
    e[idx]=x;
    ne[idx]=h[k];  //每次采用头插法
    h[k]=idx++;
}

bool find(int x)
{
     
    int k=(x%N+N)%N;
    for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i]) {
     
        if (e[i]==x)  return true;
    }
    return false;
}

int main()
{
     
    int n,x;
    char op[2];
    cin>>n;
    memset(h, -1, sizeof(h));  //头文件 cstring
    while (n--){
     
        cin>>op>>x;
        if (op[0]=='I'){
     
            insert(x);
        } else {
     
            if (find(x)) puts("Yes");
            else printf("No\n");
        }
    }
    return 0;
}

2. 开放寻址法

欲插入数值x，通过f(x)找到第一次要插入的位置，

如果位置为null，则代表数组中不存在该数，这个下标是要插入的位置；

如果不为空且该值不为x，采用线性探测序列，依次往后顺移一位，继续判断。

循环结束有两种可能：1. 碰到了null，代表了要插入的位置；2. 不为空，说明该值为x，已经查到该数。

注意：此法中哈希表定义的长度要是实际要求长度的2到3倍。

#include 
#include 

using namespace std;

const int N=2e5+3,null=0x3f3f3f3f;
int h[N];
//这次h数组里不存指向的链表了，而是就是存真实的数值，
//由于原数组值是-10^9到10^9，所以要取一个不是这个范围的数初始化h数组

int find(int x)
{
     
    int k=(x%N+N)%N;
    while (h[k]!=null && h[k]!=x){
     
        k++;
        if (k==N) k=0; //循环
    }
    //退出循环时，要么为空，要么h[k]=x，因此返回的k要么是插入的位置，要么是匹配的位置
    return k;
}

int main()
{
     
    int n,x;
    char op[2];
    cin>>n;
    memset(h, 0x3f, sizeof(h));  //头文件 cstring
    while (n--){
     
        cin>>op>>x;
        int k=find(x);
        if (op[0]=='I'){
     
            h[k]=x;
        } else {
     
            if (h[k]!=null) puts("Yes");
            else printf("No\n");
        }
    }
    return 0;
}

二、字符串哈希

用途：和KMP作用一样，用于字符串匹配。

思路：给定一个父串(从下标1开始存储)，长度为N，将字符串视为一个P进制数，每个字符的数值可以取其ASCII码，也可以自己编码(一定要从1开始编码)，然后按照前缀和的思想，将其转化为N个子串，依次求这N个子串的在P进制数下对应的数值，然后模Q，存在数组的下标1到N中。

求父串中从l到r的字符串对应的数值：h[r]-h[l-1]×p^r-l+1

通常P取131 或者13331 ；Q取2⁶⁴。

#include 

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;
const int N=1e5+10,P=131;
char str[N];
int l1,r1,l2,r2;
ULL h[N],p[N];//p[N]={1} 也可，除了第一位是1，其它都是0
//h[k]存储字符串前k个字母的哈希值 mod 2^64;h[0]=0,从下标1开始，前缀和思想
// p[k]存储 P^i,方便求子串，任何数的次方都为1，因此p[0]=1

ULL get_sub(int l,int r)
{
     
    return h[r]-h[l-1]*p[r-l+1];
}

int main()
{
     
    int n,m;//长度为n的字符串，再给定m个询问
    cin>>n>>m>>str+1;
    p[0]=1;
    //前缀和思想求P进制数
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
     
        p[i]=p[i-1]*P;//顺便求P^i
        h[i]=h[i-1]*P+str[i];  //由于字符串里有大写 小写 数字，直接就按照ASCII码运算，不再规定A为1了，当全是大写字母时，可以str[i]-'A'+1，即A从1开始编码，而不用ASCII码 
    }      //前缀求哈希值，每次做左移一位
    while (m--){
     
        cin>>l1>>r1>>l2>>r2;
        if (get_sub(l1,r1)==get_sub(l2,r2)) cout<<"Yes"<<endl;
        else cout<<"No"<<endl;
    }

    return 0;
}

利用字符串哈希可以实现O(n)复杂度实现字符串匹配，而KMP算法需要O(n²)复杂度，但是字符串哈希有出错概率，虽然极小。
KMP模板题传送

#include 

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;
const int N=1e5+10,M=1e6+10,R=131; 模板串p  模式串s R进制
char s[M],p[N];  p短 s长，p匹配s
ULL h[M],r[M]={
     1}; 即r[0]=1，其它值为0
ULL P; 大写p存模板串的哈希值

int main() {
     
    int n,m;
    cin>>n>>p+1>>m>>s+1;
  求模板串p的哈希值
    for (int i = 1; i <= n; ++i)  P=P*R+p[i];
  求模式串s的前缀和
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
     
        r[i]=r[i-1]*R;
        h[i]=h[i-1]*R+s[i];
    }
    for (int i = 1; i <= m-n+1; ++i) {
     
        if (h[i+n-1]-h[i-1]*r[n]==P) cout<<i-1<<" ";
    }
    return 0;
}